Trigonometría Ejemplos

$\sin^{2} (2 x) - 3 \sin (2 x) + 1 = 0$

Step 1

Sustituye $u$ por $\sin (2 x)$ .

${(u)}^{2} - 3 u + 1 = 0$

Step 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Step 3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 3$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Step 4

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Resta $4$ de $9$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Step 5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Step 6

Sustituye $\sin (2 x)$ por $u$ .

$\sin (2 x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Step 7

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (2 x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (2 x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Step 8

Resuelve $x$ en $\sin (2 x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ .

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El rango del seno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Step 9

Resuelve $x$ en $\sin (2 x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$2 x = \arcsin (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\arcsin (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$ .

$2 x = 0.39192267$

Divide cada término en $2 x = 0.39192267$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = 0.39192267$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0.39192267}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0.39192267}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0.39192267}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0.39192267$ por $2$ .

$x = 0.19596133$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$2 x = (3.14159265) - 0.39192267$

Resuelve $x$

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Resta $0.39192267$ de $3.14159265$ .

$2 x = 2.74966997$

Divide cada término en $2 x = 2.74966997$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = 2.74966997$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.74966997}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.74966997}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2.74966997}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $2.74966997$ por $2$ .

$x = 1.37483498$

Obtén el período de $\sin (2 x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\sin (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 0.19596133 + π n, 1.37483498 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 10

Enumera todas las soluciones.

$x = 0.19596133 + π n, 1.37483498 + π n$ , para cualquier número entero $n$