Trigonometría Ejemplos

$\sqrt{\cos (x)} = 2 \cos (x) - 1$

Step 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{\cos (x)}}^{2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Step 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\cos (x)}$ como ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Simplifica ${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica los exponentes en ${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\cos (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

${\cos (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Reescribe la expresión.

$\cos^{1} (x) = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Simplifica.

$\cos (x) = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Simplifica ${(2 \cos (x) - 1)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Reescribe ${(2 \cos (x) - 1)}^{2}$ como $(2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$ .

$\cos (x) = (2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$

Expande $(2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x) - 1) - 1 (2 \cos (x) - 1)$

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x) - 1)$

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $2$ por $2$ .

$\cos (x) = 4 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos (x) = 4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos (x) = 4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (x) = 4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 \cdot - 1$

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos (x) + 1$

Resta $2 \cos (x)$ de $- 2 \cos (x)$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1$

Step 3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Resta $4 \cos^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) = - 4 \cos (x) + 1$

Suma $4 \cos (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) = 1$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) - 1 = 0$

Suma $\cos (x)$ y $4 \cos (x)$ .

$5 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Factoriza $5 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Sea $u = \cos (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\cos (x)$ .

$5 u - 4 u^{2} - 1 = 0$

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Reordena los términos.

$- 4 u^{2} + 5 u - 1 = 0$

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 4 \cdot - 1 = 4$ y cuya suma es $b = 5$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $5$ de $5 u$ .

$- 4 u^{2} + 5 (u) - 1 = 0$

Reescribe $5$ como $1$ más $4$

$- 4 u^{2} + (1 + 4) u - 1 = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 u^{2} + 1 u + 4 u - 1 = 0$

Multiplica $u$ por $1$ .

$- 4 u^{2} + u + 4 u - 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(- 4 u^{2} + u) + 4 u - 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (- 4 u + 1) - (- 4 u + 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 4 u + 1$ .

$(- 4 u + 1) (u - 1) = 0$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$(- 4 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- 4 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Establece $- 4 \cos (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Establece $- 4 \cos (x) + 1$ igual a $0$ .

$- 4 \cos (x) + 1 = 0$

Resuelve $- 4 \cos (x) + 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 \cos (x) = - 1$

Divide cada término en $- 4 \cos (x) = - 1$ por $- 4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en $- 4 \cos (x) = - 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $- 4$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 4}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Evalúa $\arccos (\frac{1}{4})$ .

$x = 1.31811607$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Elimina los paréntesis.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Simplifica $2 (3.14159265) - 1.31811607$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

Resta $1.31811607$ de $6.2831853$ .

$x = 4.96506923$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Establece $\cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Establece $\cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Resuelve $\cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = 1$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (1)$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$x = 0$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

La solución final comprende todos los valores que hacen $(- 4 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 4

Consolida $2 π n$ y $2 π + 2 π n$ en $2 π n$ .

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{\cos (x)} = 2 \cos (x) - 1$ sea verdadera.

$x = 2 π n$ , para cualquier número entero $n$