Trigonometría Ejemplos

$\sqrt{3 x - 2} + \sqrt{11 + x} = - 1$

Paso 1

Resta $\sqrt{11 + x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{3 x - 2} = - 1 - \sqrt{11 + x}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{3 x - 2}}^{2} = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x - 2}$ como ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 x - 2)}^{1} = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$3 x - 2 = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$ como $(- 1 - \sqrt{11 + x}) (- 1 - \sqrt{11 + x})$ .

$3 x - 2 = (- 1 - \sqrt{11 + x}) (- 1 - \sqrt{11 + x})$

Paso 3.3.1.2

Expande $(- 1 - \sqrt{11 + x}) (- 1 - \sqrt{11 + x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x - 2 = - 1 (- 1 - \sqrt{11 + x}) - \sqrt{11 + x} (- 1 - \sqrt{11 + x})$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x - 2 = - 1 \cdot - 1 - 1 (- \sqrt{11 + x}) - \sqrt{11 + x} (- 1 - \sqrt{11 + x})$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x - 2 = - 1 \cdot - 1 - 1 (- \sqrt{11 + x}) - \sqrt{11 + x} \cdot - 1 - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$3 x - 2 = 1 - 1 (- \sqrt{11 + x}) - \sqrt{11 + x} \cdot - 1 - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Paso 3.3.1.3.1.2

Multiplica $- 1 (- \sqrt{11 + x})$ .

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Paso 3.3.1.3.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$3 x - 2 = 1 + 1 \sqrt{11 + x} - \sqrt{11 + x} \cdot - 1 - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Paso 3.3.1.3.1.2.2

Multiplica $\sqrt{11 + x}$ por $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} - \sqrt{11 + x} \cdot - 1 - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $- \sqrt{11 + x} \cdot - 1$ .

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Paso 3.3.1.3.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + 1 \sqrt{11 + x} - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Paso 3.3.1.3.1.3.2

Multiplica $\sqrt{11 + x}$ por $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Paso 3.3.1.3.1.4

Multiplica $- \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + 1 \sqrt{11 + x} \sqrt{11 + x}$

Paso 3.3.1.3.1.4.2

Multiplica $\sqrt{11 + x}$ por $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} \sqrt{11 + x}$

Paso 3.3.1.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{11 + x}$ a la potencia de $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {\sqrt{11 + x}}^{1} \sqrt{11 + x}$

Paso 3.3.1.3.1.4.4

Eleva $\sqrt{11 + x}$ a la potencia de $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {\sqrt{11 + x}}^{1} {\sqrt{11 + x}}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {\sqrt{11 + x}}^{1 + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {\sqrt{11 + x}}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{11 + x}}^{2}$ como $11 + x$ .

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Paso 3.3.1.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{11 + x}$ como ${(11 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {({(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {(11 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 3.3.1.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {(11 + x)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {(11 + x)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {(11 + x)}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.5.5

Simplifica.

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + 11 + x$

Paso 3.3.1.3.2

Suma $1$ y $11$ .

$3 x - 2 = 12 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + x$

Paso 3.3.1.3.3

Suma $\sqrt{11 + x}$ y $\sqrt{11 + x}$ .

$3 x - 2 = 12 + 2 \sqrt{11 + x} + x$

Paso 4

Resuelve $2 \sqrt{11 + x}$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $12 + 2 \sqrt{11 + x} + x = 3 x - 2$ .

$12 + 2 \sqrt{11 + x} + x = 3 x - 2$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $2 \sqrt{11 + x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{11 + x} + x = 3 x - 2 - 12$

Paso 4.2.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{11 + x} = 3 x - 2 - 12 - x$

Paso 4.2.3

Resta $x$ de $3 x$ .

$2 \sqrt{11 + x} = 2 x - 2 - 12$

Paso 4.2.4

Resta $12$ de $- 2$ .

$2 \sqrt{11 + x} = 2 x - 14$

Paso 5

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{11 + x})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Paso 6

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{11 + x}$ como ${(11 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${(2 {(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(11 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(11 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(11 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(11 + x)}^{1} = {(2 x - 14)}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Simplifica.

$4 (11 + x) = {(2 x - 14)}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 11 + 4 x = {(2 x - 14)}^{2}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $4$ por $11$ .

$44 + 4 x = {(2 x - 14)}^{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica ${(2 x - 14)}^{2}$ .

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Paso 6.3.1.1

Reescribe ${(2 x - 14)}^{2}$ como $(2 x - 14) (2 x - 14)$ .

$44 + 4 x = (2 x - 14) (2 x - 14)$

Paso 6.3.1.2

Expande $(2 x - 14) (2 x - 14)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$44 + 4 x = 2 x (2 x - 14) - 14 (2 x - 14)$

Paso 6.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$44 + 4 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x - 14)$

Paso 6.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$44 + 4 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Paso 6.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$44 + 4 x = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Paso 6.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$44 + 4 x = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Paso 6.3.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$44 + 4 x = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Paso 6.3.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$44 + 4 x = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Paso 6.3.1.3.1.4

Multiplica $- 14$ por $2$ .

$44 + 4 x = 4 x^{2} - 28 x - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Paso 6.3.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 14$ .

$44 + 4 x = 4 x^{2} - 28 x - 28 x - 14 \cdot - 14$

Paso 6.3.1.3.1.6

Multiplica $- 14$ por $- 14$ .

$44 + 4 x = 4 x^{2} - 28 x - 28 x + 196$

Paso 6.3.1.3.2

Resta $28 x$ de $- 28 x$ .

$44 + 4 x = 4 x^{2} - 56 x + 196$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$4 x^{2} - 56 x + 196 = 44 + 4 x$

Paso 7.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 56 x + 196 - 4 x = 44$

Paso 7.2.2

Resta $4 x$ de $- 56 x$ .

$4 x^{2} - 60 x + 196 = 44$

Paso 7.3

Resta $44$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 60 x + 196 - 44 = 0$

Paso 7.4

Resta $44$ de $196$ .

$4 x^{2} - 60 x + 152 = 0$

Paso 7.5

Factoriza $4$ de $4 x^{2} - 60 x + 152$ .

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Paso 7.5.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 60 x + 152 = 0$

Paso 7.5.2

Factoriza $4$ de $- 60 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 15 x) + 152 = 0$

Paso 7.5.3

Factoriza $4$ de $152$ .

$4 x^{2} + 4 (- 15 x) + 4 \cdot 38 = 0$

Paso 7.5.4

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4 (- 15 x)$ .

$4 (x^{2} - 15 x) + 4 \cdot 38 = 0$

Paso 7.5.5

Factoriza $4$ de $4 (x^{2} - 15 x) + 4 \cdot 38$ .

$4 (x^{2} - 15 x + 38) = 0$

Paso 7.6

Divide cada término en $4 (x^{2} - 15 x + 38) = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 7.6.1

Divide cada término en $4 (x^{2} - 15 x + 38) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 15 x + 38)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 7.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.6.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x^{2} - 15 x + 38)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 7.6.2.1.2

Divide $x^{2} - 15 x + 38$ por $1$ .

$x^{2} - 15 x + 38 = \frac{0}{4}$

Paso 7.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.6.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x^{2} - 15 x + 38 = 0$

Paso 7.7

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.8

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 15$ y $c = 38$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 38)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.9

Simplifica.

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Paso 7.9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.9.1.1

Eleva $- 15$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot 38}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.9.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 38$ .

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Paso 7.9.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 38}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.9.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $38$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 152}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.9.1.3

Resta $152$ de $225$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.9.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{73}}{2}$

Paso 7.10

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{15 + \sqrt{73}}{2}, \frac{15 - \sqrt{73}}{2}$

Paso 8

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{3 x - 2} + \sqrt{11 + x} = - 1$ sea verdadera.

$No hay solución$