Trigonometría Ejemplos

$2 \sin^{2} (z) - 5 \cos (z) + 1 = 0$

Step 1

Reemplaza $2 \sin^{2} (z)$ con $2 (1 - \cos^{2} (z))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (z)) - 5 \cos (z) + 1 = 0$

Step 2

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (z)) - 5 \cos (z) + 1 = 0$

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (z)) - 5 \cos (z) + 1 = 0$

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (z) - 5 \cos (z) + 1 = 0$

Step 3

Suma $2$ y $1$ .

$- 2 \cos^{2} (z) - 5 \cos (z) + 3 = 0$

Step 4

Sustituye $u$ por $\cos (z)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 5 u + 3 = 0$

Step 5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Factoriza $- 1$ de $- 2 u^{2} - 5 u + 3$ .

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Factoriza $- 1$ de $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) - 5 u + 3 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- 5 u$ .

$- (2 u^{2}) - (5 u) + 3 = 0$

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- (2 u^{2}) - (5 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- (2 u^{2}) - (5 u)$ .

$- (2 u^{2} + 5 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- (2 u^{2} + 5 u) - 1 (- 3)$ .

$- (2 u^{2} + 5 u - 3) = 0$

Factoriza.

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Factoriza por agrupación.

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Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Factoriza $5$ de $5 u$ .

$- (2 u^{2} + 5 u - 3) = 0$

Reescribe $5$ como $- 1$ más $6$

$- (2 u^{2} + (- 1 + 6) u - 3) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$- (2 u^{2} - 1 u + 6 u - 3) = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- (2 u^{2} - 1 u + 6 u - 3) = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (u (2 u - 1) + 3 (2 u - 1)) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u + 3)) = 0$

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (2 u - 1) (u + 3) = 0$

Step 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 3 = 0$

Step 7

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $2 u - 1$ igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Resuelve $2 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u = 1$

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Step 8

Establece $u + 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $u + 3$ igual a $0$ .

$u + 3 = 0$

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 3$

Step 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (2 u - 1) (u + 3) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{2}, - 3$

Step 10

Sustituye $\cos (z)$ por $u$ .

$\cos (z) = \frac{1}{2}, - 3$

Step 11

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $z$ .

$\cos (z) = \frac{1}{2}$

$\cos (z) = - 3$

Step 12

Resuelve $z$ en $\cos (z) = \frac{1}{2}$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $z$ del interior del coseno.

$z = \arccos (\frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$z = \frac{π}{3}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$z = 2 π - \frac{π}{3}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$z = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$z = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$z = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $2$ .

$z = \frac{6 π - π}{3}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$z = \frac{5 π}{3}$

Obtén el período de $\cos (z)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (z)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$z = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 13

Resuelve $z$ en $\cos (z) = - 3$ .

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El rango del coseno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 3$ no está dentro de este rango, no hay solución.

No hay solución

Step 14

Enumera todas las soluciones.

$z = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$