Trigonometría Ejemplos

$\cos^{2} (\frac{x}{5}) - \sin^{2} (\frac{x}{5})$

Step 1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (\frac{x}{5})$ y $b = \sin (\frac{x}{5})$ .

$(\cos (\frac{x}{5}) + \sin (\frac{x}{5})) (\cos (\frac{x}{5}) - \sin (\frac{x}{5}))$

Step 2

Expande $(\cos (\frac{x}{5}) + \sin (\frac{x}{5})) (\cos (\frac{x}{5}) - \sin (\frac{x}{5}))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (\frac{x}{5}) (\cos (\frac{x}{5}) - \sin (\frac{x}{5})) + \sin (\frac{x}{5}) (\cos (\frac{x}{5}) - \sin (\frac{x}{5}))$

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (\frac{x}{5}) \cos (\frac{x}{5}) + \cos (\frac{x}{5}) (- \sin (\frac{x}{5})) + \sin (\frac{x}{5}) (\cos (\frac{x}{5}) - \sin (\frac{x}{5}))$

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (\frac{x}{5}) \cos (\frac{x}{5}) + \cos (\frac{x}{5}) (- \sin (\frac{x}{5})) + \sin (\frac{x}{5}) \cos (\frac{x}{5}) + \sin (\frac{x}{5}) (- \sin (\frac{x}{5}))$

Step 3

Simplifica los términos.

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Combina los términos opuestos en $\cos (\frac{x}{5}) \cos (\frac{x}{5}) + \cos (\frac{x}{5}) (- \sin (\frac{x}{5})) + \sin (\frac{x}{5}) \cos (\frac{x}{5}) + \sin (\frac{x}{5}) (- \sin (\frac{x}{5}))$ .

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Reordena los factores en los términos $\cos (\frac{x}{5}) (- \sin (\frac{x}{5}))$ y $\sin (\frac{x}{5}) \cos (\frac{x}{5})$ .

$\cos (\frac{x}{5}) \cos (\frac{x}{5}) - \cos (\frac{x}{5}) \sin (\frac{x}{5}) + \cos (\frac{x}{5}) \sin (\frac{x}{5}) + \sin (\frac{x}{5}) (- \sin (\frac{x}{5}))$

Suma $- \cos (\frac{x}{5}) \sin (\frac{x}{5})$ y $\cos (\frac{x}{5}) \sin (\frac{x}{5})$ .

$\cos (\frac{x}{5}) \cos (\frac{x}{5}) + 0 + \sin (\frac{x}{5}) (- \sin (\frac{x}{5}))$

Suma $\cos (\frac{x}{5}) \cos (\frac{x}{5})$ y $0$ .

$\cos (\frac{x}{5}) \cos (\frac{x}{5}) + \sin (\frac{x}{5}) (- \sin (\frac{x}{5}))$

Simplifica cada término.

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Multiplica $\cos (\frac{x}{5}) \cos (\frac{x}{5})$ .

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Eleva $\cos (\frac{x}{5})$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (\frac{x}{5}) \cos (\frac{x}{5}) + \sin (\frac{x}{5}) (- \sin (\frac{x}{5}))$

Eleva $\cos (\frac{x}{5})$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (\frac{x}{5}) \cos^{1} (\frac{x}{5}) + \sin (\frac{x}{5}) (- \sin (\frac{x}{5}))$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (\frac{x}{5})}^{1 + 1} + \sin (\frac{x}{5}) (- \sin (\frac{x}{5}))$

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (\frac{x}{5}) + \sin (\frac{x}{5}) (- \sin (\frac{x}{5}))$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\cos^{2} (\frac{x}{5}) - \sin (\frac{x}{5}) \sin (\frac{x}{5})$

Multiplica $- \sin (\frac{x}{5}) \sin (\frac{x}{5})$ .

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Eleva $\sin (\frac{x}{5})$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (\frac{x}{5}) - (\sin^{1} (\frac{x}{5}) \sin (\frac{x}{5}))$

Eleva $\sin (\frac{x}{5})$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (\frac{x}{5}) - (\sin^{1} (\frac{x}{5}) \sin^{1} (\frac{x}{5}))$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos^{2} (\frac{x}{5}) - {\sin (\frac{x}{5})}^{1 + 1}$

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (\frac{x}{5}) - \sin^{2} (\frac{x}{5})$

Step 4

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$\cos (2 \frac{x}{5})$

Step 5

Combina $2$ y $\frac{x}{5}$ .

$\cos (\frac{2 x}{5})$