Trigonometría Ejemplos

${(4 + 3 i)}^{6}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

$4^{6} + 6 \cdot 4^{5} (3 i) + 15 \cdot 4^{4} {(3 i)}^{2} + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $6$ .

$4096 + 6 \cdot 4^{5} (3 i) + 15 \cdot 4^{4} {(3 i)}^{2} + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$4096 + 6 \cdot 1024 (3 i) + 15 \cdot 4^{4} {(3 i)}^{2} + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.3

Multiplica $6$ por $1024$ .

$4096 + 6144 (3 i) + 15 \cdot 4^{4} {(3 i)}^{2} + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.4

Multiplica $3$ por $6144$ .

$4096 + 18432 i + 15 \cdot 4^{4} {(3 i)}^{2} + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$4096 + 18432 i + 15 \cdot 256 {(3 i)}^{2} + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.6

Multiplica $15$ por $256$ .

$4096 + 18432 i + 3840 {(3 i)}^{2} + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.7

Aplica la regla del producto a $3 i$ .

$4096 + 18432 i + 3840 (3^{2} i^{2}) + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.8

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$4096 + 18432 i + 3840 (9 i^{2}) + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.9

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$4096 + 18432 i + 3840 (9 \cdot - 1) + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.10

Multiplica $3840 (9 \cdot - 1)$ .

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Paso 2.1.10.1

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$4096 + 18432 i + 3840 \cdot - 9 + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.10.2

Multiplica $3840$ por $- 9$ .

$4096 + 18432 i - 34560 + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.11

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$4096 + 18432 i - 34560 + 20 \cdot 64 {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.12

Multiplica $20$ por $64$ .

$4096 + 18432 i - 34560 + 1280 {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.13

Aplica la regla del producto a $3 i$ .

$4096 + 18432 i - 34560 + 1280 (3^{3} i^{3}) + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.14

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$4096 + 18432 i - 34560 + 1280 (27 i^{3}) + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.15

Factoriza $i^{2}$ .

$4096 + 18432 i - 34560 + 1280 (27 (i^{2} \cdot i)) + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.16

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$4096 + 18432 i - 34560 + 1280 (27 (- 1 \cdot i)) + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.17

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$4096 + 18432 i - 34560 + 1280 (27 (- i)) + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.18

Multiplica $- 1$ por $27$ .

$4096 + 18432 i - 34560 + 1280 (- 27 i) + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.19

Multiplica $- 27$ por $1280$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.20

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 15 \cdot 16 {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.21

Multiplica $15$ por $16$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 240 {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.22

Aplica la regla del producto a $3 i$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 240 (3^{4} i^{4}) + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.23

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 240 (81 i^{4}) + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.24

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.24.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 240 (81 {(i^{2})}^{2}) + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.24.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 240 (81 {(- 1)}^{2}) + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.24.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 240 (81 \cdot 1) + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.25

Multiplica $240 (81 \cdot 1)$ .

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Paso 2.1.25.1

Multiplica $81$ por $1$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 240 \cdot 81 + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.25.2

Multiplica $240$ por $81$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.26

Multiplica $6$ por $4$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 24 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.27

Aplica la regla del producto a $3 i$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 24 (3^{5} i^{5}) + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.28

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 24 (243 i^{5}) + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.29

Factoriza $i^{4}$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 24 (243 (i^{4} i)) + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.30

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.30.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 24 (243 ({(i^{2})}^{2} i)) + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.30.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 24 (243 ({(- 1)}^{2} i)) + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.30.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 24 (243 (1 i)) + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.31

Multiplica $i$ por $1$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 24 (243 i) + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.32

Multiplica $243$ por $24$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 5832 i + {(3 i)}^{6}$

Paso 2.1.33

Aplica la regla del producto a $3 i$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 5832 i + 3^{6} i^{6}$

Paso 2.1.34

Eleva $3$ a la potencia de $6$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 5832 i + 729 i^{6}$

Paso 2.1.35

Factoriza $i^{4}$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 5832 i + 729 (i^{4} i^{2})$

Paso 2.1.36

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.36.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 5832 i + 729 ({(i^{2})}^{2} i^{2})$

Paso 2.1.36.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 5832 i + 729 ({(- 1)}^{2} i^{2})$

Paso 2.1.36.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 5832 i + 729 (1 i^{2})$

Paso 2.1.37

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 5832 i + 729 i^{2}$

Paso 2.1.38

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 5832 i + 729 \cdot - 1$

Paso 2.1.39

Multiplica $729$ por $- 1$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 5832 i - 729$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Resta $34560$ de $4096$ .

$- 30464 + 18432 i - 34560 i + 19440 + 5832 i - 729$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.1

Suma $- 30464$ y $19440$ .

$- 11024 + 18432 i - 34560 i + 5832 i - 729$

Paso 2.2.2.2

Resta $729$ de $- 11024$ .

$- 11753 + 18432 i - 34560 i + 5832 i$

Paso 2.2.3

Resta $34560 i$ de $18432 i$ .

$- 11753 - 16128 i + 5832 i$

Paso 2.2.4

Suma $- 16128 i$ y $5832 i$ .

$- 11753 - 10296 i$