Trigonometría Ejemplos

${(1 - i)}^{8}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

$1^{8} + 8 \cdot 1^{7} (- i) + 28 \cdot 1^{6} {(- i)}^{2} + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 8 \cdot 1^{7} (- i) + 28 \cdot 1^{6} {(- i)}^{2} + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 8 \cdot 1 (- i) + 28 \cdot 1^{6} {(- i)}^{2} + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$1 + 8 (- i) + 28 \cdot 1^{6} {(- i)}^{2} + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.4

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$1 - 8 i + 28 \cdot 1^{6} {(- i)}^{2} + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 8 i + 28 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.6

Multiplica $28$ por $1$ .

$1 - 8 i + 28 {(- i)}^{2} + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.7

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$1 - 8 i + 28 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 8 i + 28 (1 i^{2}) + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.9

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$1 - 8 i + 28 i^{2} + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.10

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 8 i + 28 \cdot - 1 + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.11

Multiplica $28$ por $- 1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.12

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 8 i - 28 + 56 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.13

Multiplica $56$ por $1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.14

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.15

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 (- i^{3}) + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.16

Factoriza $i^{2}$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 (- (i^{2} \cdot i)) + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.17

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 (- (- 1 \cdot i)) + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.18

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 (- - i) + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.19

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 (1 i) + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.20

Multiplica $i$ por $1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.21

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 \cdot 1 {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.22

Multiplica $70$ por $1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.23

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.24

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 (1 i^{4}) + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.25

Multiplica $i^{4}$ por $1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 i^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.26

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.26.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 {(i^{2})}^{2} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.26.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 {(- 1)}^{2} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.26.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 \cdot 1 + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.27

Multiplica $70$ por $1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.28

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 + 56 \cdot 1 {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.29

Multiplica $56$ por $1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 + 56 {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.30

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 + 56 ({(- 1)}^{5} i^{5}) + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.31

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 + 56 (- i^{5}) + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.32

Factoriza $i^{4}$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 + 56 (- (i^{4} i)) + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.33

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.33.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 + 56 (- ({(i^{2})}^{2} i)) + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.33.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 + 56 (- ({(- 1)}^{2} i)) + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.33.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 + 56 (- (1 i)) + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.34

Multiplica $i$ por $1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 + 56 (- i) + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.35

Multiplica $- 1$ por $56$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.36

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 \cdot 1 {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.37

Multiplica $28$ por $1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.38

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 ({(- 1)}^{6} i^{6}) + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.39

Eleva $- 1$ a la potencia de $6$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 (1 i^{6}) + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.40

Multiplica $i^{6}$ por $1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 i^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.41

Factoriza $i^{4}$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 (i^{4} i^{2}) + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.42

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.42.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 ({(i^{2})}^{2} i^{2}) + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.42.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.42.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 (1 i^{2}) + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.43

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 i^{2} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.44

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 \cdot - 1 + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.45

Multiplica $28$ por $- 1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.46

Multiplica $8$ por $1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.47

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 ({(- 1)}^{7} i^{7}) + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.48

Eleva $- 1$ a la potencia de $7$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 (- i^{7}) + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.49

Reescribe $i^{7}$ como $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ .

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Paso 2.1.49.1

Factoriza $i^{4}$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 (- (i^{4} i^{3})) + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.49.2

Factoriza $i^{2}$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 (- (i^{4} (i^{2} \cdot i))) + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.50

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.50.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 (- ({(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i))) + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.50.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 (- ({(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i))) + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.50.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 (- (1 (i^{2} \cdot i))) + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.51

Multiplica $i^{2} \cdot i$ por $1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 (- (i^{2} \cdot i)) + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.52

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 (- (- 1 \cdot i)) + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.53

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 (- - i) + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.54

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 (1 i) + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.55

Multiplica $i$ por $1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 i + {(- i)}^{8}$

Paso 2.1.56

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 i + {(- 1)}^{8} i^{8}$

Paso 2.1.57

Eleva $- 1$ a la potencia de $8$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 i + 1 i^{8}$

Paso 2.1.58

Multiplica $i^{8}$ por $1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 i + i^{8}$

Paso 2.1.59

Reescribe $i^{8}$ como ${(i^{4})}^{2}$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 i + {(i^{4})}^{2}$

Paso 2.1.60

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.60.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 i + {({(i^{2})}^{2})}^{2}$

Paso 2.1.60.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 i + {({(- 1)}^{2})}^{2}$

Paso 2.1.60.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 i + 1^{2}$

Paso 2.1.61

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 i + 1$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Resta $28$ de $1$ .

$- 27 - 8 i + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 i + 1$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.1

Suma $- 27$ y $70$ .

$43 - 8 i + 56 i - 56 i - 28 + 8 i + 1$

Paso 2.2.2.2

Resta $28$ de $43$ .

$15 - 8 i + 56 i - 56 i + 8 i + 1$

Paso 2.2.2.3

Suma $15$ y $1$ .

$16 - 8 i + 56 i - 56 i + 8 i$

Paso 2.2.3

Suma $- 8 i$ y $56 i$ .

$16 + 48 i - 56 i + 8 i$

Paso 2.2.4

Resta $56 i$ de $48 i$ .

$16 - 8 i + 8 i$

Paso 2.2.5

Suma $- 8 i$ y $8 i$ .

$16 + 0$

Paso 2.2.6

Suma $16$ y $0$ .

$16$