Trigonometría Ejemplos

$\frac{\sec^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Step 1

Simplifica el numerador.

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Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \sec (x)$ y $b = \cos (x)$ .

$\frac{(\sec (x) + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

Simplifica.

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Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

Step 2

Simplifica el denominador.

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Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Step 3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 4

Expande $(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$(\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Aplica la propiedad distributiva.

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Aplica la propiedad distributiva.

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 5

Simplifica los términos.

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Combina los términos opuestos en $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Reordena los factores en los términos $\frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x))$ y $\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Suma $- \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ y $\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + 0 + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Suma $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ y $0$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Simplifica cada término.

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Multiplica $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Multiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Suma $1$ y $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \cos (x) \cos (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Multiplica $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{1} (x) \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - {\cos (x)}^{1 + 1}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Suma $1$ y $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \cos^{2} (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Simplifica los términos.

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Combinar.

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 6

Multiplica $- \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

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Combina $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ y $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{{\cos (x)}^{2 + 2}}{\sin^{2} (x)}$

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 7

Cancela el factor común de $\cos^{2} (x)$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 8

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 9

Reescribe $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 10

Reescribe $\frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$ como ${(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - {(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Step 11

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{1}{\sin (x)}$ y $b = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ .

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Step 12

Simplifica los términos.

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Simplifica cada término.

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Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$(\csc (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$(\csc (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Separa las fracciones.

$(\csc (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$(\csc (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cot (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Step 13

Aplica la identidad pitagórica.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Step 14

Simplifica los términos.

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Cancela el factor común de $\sin^{2} (x)$ y $\sin (x)$ .

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Factoriza $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Cancela los factores comunes.

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Multiplica por $1$ .

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Cancela el factor común.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Reescribe la expresión.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x)}{1}$

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \sin (x)$

Aplica la propiedad distributiva.

$\csc (x) \sin (x) + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$

Step 15

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Reescribe $\csc (x) \sin (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$

Cancela los factores comunes.

$1 + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$