Trigonometría Ejemplos

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Step 1

Reescribe $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ como ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Step 2

Reescribe $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Step 3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ y $b = \frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})$

Step 4

Simplifica los términos.

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Simplifica cada término.

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Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})$

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$(\tan (x) + \sec (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})$

Simplifica cada término.

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Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \frac{1}{\cos (x)})$

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Step 5

Expande $(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\tan (x) (\tan (x) - \sec (x)) + \sec (x) (\tan (x) - \sec (x))$

Aplica la propiedad distributiva.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sec (x)) + \sec (x) (\tan (x) - \sec (x))$

Aplica la propiedad distributiva.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Step 6

Simplifica los términos.

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Combina los términos opuestos en $\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$ .

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Reordena los factores en los términos $\tan (x) (- \sec (x))$ y $\sec (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Suma $- \sec (x) \tan (x)$ y $\sec (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) + 0 + \sec (x) (- \sec (x))$

Suma $\tan (x) \tan (x)$ y $0$ .

$\tan (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Simplifica cada término.

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Multiplica $\tan (x) \tan (x)$ .

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Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\tan (x)}^{1 + 1} + \sec (x) (- \sec (x))$

Suma $1$ y $1$ .

$\tan^{2} (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\tan^{2} (x) - \sec (x) \sec (x)$

Multiplica $- \sec (x) \sec (x)$ .

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Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\tan^{2} (x) - (\sec^{1} (x) \sec (x))$

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\tan^{2} (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x))$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\tan^{2} (x) - {\sec (x)}^{1 + 1}$

Suma $1$ y $1$ .

$\tan^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

Simplifica con la obtención del factor común.

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Reordena $\tan^{2} (x)$ y $- \sec^{2} (x)$ .

$- \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Factoriza $- 1$ de $- \sec^{2} (x)$ .

$- (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x)$

Factoriza $- 1$ de $\tan^{2} (x)$ .

$- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$

Factoriza $- 1$ de $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ .

$- (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Step 7

Aplica la identidad pitagórica.

$- 1 \cdot 1$

Step 8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$