Trigonometría Ejemplos

cos (2 x) + 5 cos (x) + 3 = 0

$\cos (2 x) + 5 \cos (x) + 3 = 0$

Step 1

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Usa la razón del ángulo doble para transformar

cos (2 x)

$\cos (2 x)$ a

2 {cos}^{2} (x) - 1

$2 \cos^{2} (x) - 1$ .

2 {cos}^{2} (x) - 1 + 5 cos (x) + 3 = 0

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 5 \cos (x) + 3 = 0$

Suma

- 1

$- 1$ y

3

$3$ .

2 {cos}^{2} (x) + 2 + 5 cos (x) = 0

$2 \cos^{2} (x) + 2 + 5 \cos (x) = 0$

2 {cos}^{2} (x) + 2 + 5 cos (x) = 0

$2 \cos^{2} (x) + 2 + 5 \cos (x) = 0$

Step 2

Factoriza por agrupación.

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Reordena los términos.

2 {cos}^{2} (x) + 5 cos (x) + 2 = 0

$2 \cos^{2} (x) + 5 \cos (x) + 2 = 0$

Para un polinomio de la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es

a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4

$a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ y cuya suma es

b = 5

$b = 5$ .

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Factoriza

5

$5$ de

5 cos (x)

$5 \cos (x)$ .

2 {cos}^{2} (x) + 5 cos (x) + 2 = 0

$2 \cos^{2} (x) + 5 \cos (x) + 2 = 0$

Reescribe

5

$5$ como

1

$1$ más

4

$4$

2 {cos}^{2} (x) + (1 + 4) cos (x) + 2 = 0

$2 \cos^{2} (x) + (1 + 4) \cos (x) + 2 = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

2 {cos}^{2} (x) + 1 cos (x) + 4 cos (x) + 2 = 0

$2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) + 4 \cos (x) + 2 = 0$

Multiplica

cos (x)

$\cos (x)$ por

1

$1$ .

2 {cos}^{2} (x) + cos (x) + 4 cos (x) + 2 = 0

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) + 4 \cos (x) + 2 = 0$

2 {cos}^{2} (x) + cos (x) + 4 cos (x) + 2 = 0

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) + 4 \cos (x) + 2 = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

2 {cos}^{2} (x) + cos (x) + 4 cos (x) + 2 = 0

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) + 4 \cos (x) + 2 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

cos (x) (2 cos (x) + 1) + 2 (2 cos (x) + 1) = 0

$\cos (x) (2 \cos (x) + 1) + 2 (2 \cos (x) + 1) = 0$

cos (x) (2 cos (x) + 1) + 2 (2 cos (x) + 1) = 0

$\cos (x) (2 \cos (x) + 1) + 2 (2 \cos (x) + 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor,

2 cos (x) + 1

$2 \cos (x) + 1$ .

(2 cos (x) + 1) (cos (x) + 2) = 0

$(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 2) = 0$

(2 cos (x) + 1) (cos (x) + 2) = 0

$(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 2) = 0$

Step 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a

0

$0$ , la expresión completa será igual a

0

$0$ .

2 cos (x) + 1 = 0

$2 \cos (x) + 1 = 0$

cos (x) + 2 = 0

$\cos (x) + 2 = 0$

Step 4

Establece

2 cos (x) + 1

$2 \cos (x) + 1$ igual a

0

$0$ y resuelve

x

$x$ .

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Establece

2 cos (x) + 1

$2 \cos (x) + 1$ igual a

0

$0$ .

2 cos (x) + 1 = 0

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Resuelve

2 cos (x) + 1 = 0

$2 \cos (x) + 1 = 0$ en

x

$x$ .

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Resta

1

$1$ de ambos lados de la ecuación.

2 cos (x) = - 1

$2 \cos (x) = - 1$

Divide cada término en

2 cos (x) = - 1

$2 \cos (x) = - 1$ por

2

$2$ y simplifica.

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Divide cada término en

2 cos (x) = - 1

$2 \cos (x) = - 1$ por

2

$2$ .

\frac{2 cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Divide

$\cos (x)$ por

$1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer

$x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de

$\arccos (- \frac{1}{2})$ es

$\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de

$2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Simplifica

$2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Para escribir

$2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina fracciones.

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Combina

$2 π$ y

$\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica

$3$ por

$2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Resta

$2 π$ de

$6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Obtén el período de

$\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza

$b$ con

$1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre

$0$ y

$1$ es

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide

$2 π$ por

$1$ .

$2 π$

El período de la función

$\cos (x)$ es

$2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada

$2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

Step 5

Establece

$\cos (x) + 2$ igual a

$0$ y resuelve

$x$ .

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Establece

$\cos (x) + 2$ igual a

$0$ .

$\cos (x) + 2 = 0$

Resuelve

$\cos (x) + 2 = 0$ en

$x$ .

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Resta

$2$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = - 2$

El rango del coseno es

$- 1 \leq y \leq 1$ . Como

$- 2$ no está dentro de este rango, no hay solución.

No hay solución

Step 6

La solución final comprende todos los valores que hacen

$(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$