Trigonometría Ejemplos

cos (2 x) + 2 {cos}^{2} (x) = 0

$\cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) = 0$

Step 1

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Usa la razón del ángulo doble para transformar

cos (2 x)

$\cos (2 x)$ a

2 {cos}^{2} (x) - 1

$2 \cos^{2} (x) - 1$ .

2 {cos}^{2} (x) - 1 + 2 {cos}^{2} (x) = 0

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 \cos^{2} (x) = 0$

Suma

2 {cos}^{2} (x)

$2 \cos^{2} (x)$ y

2 {cos}^{2} (x)

$2 \cos^{2} (x)$ .

- 1 + 4 {cos}^{2} (x) = 0

$- 1 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

- 1 + 4 {cos}^{2} (x) = 0

$- 1 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Step 2

Factoriza

- 1 + 4 {cos}^{2} (x)

$- 1 + 4 \cos^{2} (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Reescribe

4 {cos}^{2} (x)

$4 \cos^{2} (x)$ como

{(2 cos (x))}^{2}

${(2 \cos (x))}^{2}$ .

- 1 + {(2 cos (x))}^{2} = 0

$- 1 + {(2 \cos (x))}^{2} = 0$

Reescribe

1

$1$ como

1^{2}

$1^{2}$ .

- 1^{2} + {(2 cos (x))}^{2} = 0

$- 1^{2} + {(2 \cos (x))}^{2} = 0$

Reordena

- 1^{2}

$- 1^{2}$ y

{(2 cos (x))}^{2}

${(2 \cos (x))}^{2}$ .

{(2 cos (x))}^{2} - 1^{2} = 0

${(2 \cos (x))}^{2} - 1^{2} = 0$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde

a = 2 cos (x)

$a = 2 \cos (x)$ y

b = 1

$b = 1$ .

(2 cos (x) + 1) (2 cos (x) - 1) = 0

$(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) = 0$

(2 cos (x) + 1) (2 cos (x) - 1) = 0

$(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Step 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a

0

$0$ , la expresión completa será igual a

0

$0$ .

2 cos (x) + 1 = 0

$2 \cos (x) + 1 = 0$

2 cos (x) - 1 = 0

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Step 4

Establece

2 cos (x) + 1

$2 \cos (x) + 1$ igual a

0

$0$ y resuelve

x

$x$ .

Toca para ver más pasos...

Establece

2 cos (x) + 1

$2 \cos (x) + 1$ igual a

0

$0$ .

2 cos (x) + 1 = 0

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Resuelve

2 cos (x) + 1 = 0

$2 \cos (x) + 1 = 0$ en

x

$x$ .

Toca para ver más pasos...

Resta

1

$1$ de ambos lados de la ecuación.

2 cos (x) = - 1

$2 \cos (x) = - 1$

Divide cada término en

2 cos (x) = - 1

$2 \cos (x) = - 1$ por

2

$2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en

2 cos (x) = - 1

$2 \cos (x) = - 1$ por

2

$2$ .

\frac{2 cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de

2

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Divide

$\cos (x)$ por

$1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer

$x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

El valor exacto de

$\arccos (- \frac{1}{2})$ es

$\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de

$2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Simplifica

$2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Para escribir

$2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Combina

$2 π$ y

$\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Multiplica

$3$ por

$2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Resta

$2 π$ de

$6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Obtén el período de

$\cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza

$b$ con

$1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre

$0$ y

$1$ es

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide

$2 π$ por

$1$ .

$2 π$

El período de la función

$\cos (x)$ es

$2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada

$2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

Step 5

Establece

$2 \cos (x) - 1$ igual a

$0$ y resuelve

$x$ .

Toca para ver más pasos...

Establece

$2 \cos (x) - 1$ igual a

$0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Resuelve

$2 \cos (x) - 1 = 0$ en

$x$ .

Toca para ver más pasos...

Suma

$1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (x) = 1$

Divide cada término en

$2 \cos (x) = 1$ por

$2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en

$2 \cos (x) = 1$ por

$2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Divide

$\cos (x)$ por

$1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer

$x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

El valor exacto de

$\arccos (\frac{1}{2})$ es

$\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de

$2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Simplifica

$2 π - \frac{π}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Para escribir

$2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Combina

$2 π$ y

$\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Multiplica

$3$ por

$2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Resta

$π$ de

$6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Obtén el período de

$\cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza

$b$ con

$1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre

$0$ y

$1$ es

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide

$2 π$ por

$1$ .

$2 π$

El período de la función

$\cos (x)$ es

$2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada

$2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

Step 6

La solución final comprende todos los valores que hacen

$(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

Step 7

Consolida las respuestas.

Toca para ver más pasos...

Consolida

$\frac{2 π}{3} + 2 π n$ y

$\frac{5 π}{3} + 2 π n$ en

$\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

Consolida

$\frac{4 π}{3} + 2 π n$ y

$\frac{π}{3} + 2 π n$ en

$\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , para cualquier número entero

$n$

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , para cualquier número entero

$n$