Trigonometría Ejemplos

$\cos (2 x) = 1 + \sin (x)$

Step 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (2 x) - 1 = \sin (x)$

Resta $\sin (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (2 x) - 1 - \sin (x) = 0$

Step 2

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - 1 - \sin (x) = 0$

Combina los términos opuestos en $1 - 2 \sin^{2} (x) - 1 - \sin (x)$ .

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Resta $1$ de $1$ .

$0 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 0$

Resta $2 \sin^{2} (x)$ de $0$ .

$- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 0$

Step 3

Factoriza $\sin (x)$ de $- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x)$ .

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Factoriza $\sin (x)$ de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) - \sin (x) = 0$

Factoriza $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x) - 1) = 0$

Step 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \sin (x) - 1 = 0$

Step 5

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

Establece $- 2 \sin (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $- 2 \sin (x) - 1$ igual a $0$ .

$- 2 \sin (x) - 1 = 0$

Resuelve $- 2 \sin (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin (x) = 1$

Divide cada término en $- 2 \sin (x) = 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Divide cada término en $- 2 \sin (x) = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $- 2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 2}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $2 π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $\sin (x) (- 2 \sin (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 8

Consolida $2 π n$ y $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$