Trigonometría Ejemplos

$\cos (2 x) = 3 \sin (x)$

Step 1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) = 3 \sin (x)$

Step 2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin^{2} (x) = 3 \sin (x) - 1$

Step 3

Resta $3 \sin (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) = - 1$

Step 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Sustituye $u$ por $\sin (x)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 3 u = - 1$

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Sustituye los valores $a = - 2$ , $b = - 3$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 1)}}{2 \cdot - 2}$

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Multiplica $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

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Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Multiplica $8$ por $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot - 2}$

Suma $9$ y $8$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 2}$

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{- 4}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Sustituye $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ .

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El rango del seno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\arcsin (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$ .

$x = 0.28460296$

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265 - 2 π$

El ángulo resultante de $2.85698969$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$ .

$x = 2.85698969$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 0.28460296 + 2 π n, 2.85698969 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Enumera todas las soluciones.

$x = 0.28460296 + 2 π n, 2.85698969 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$