Trigonometría Ejemplos

$(\csc (x) - 2) (\cot (x) + 1) = 0$

Step 1

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Expande $(\csc (x) - 2) (\cot (x) + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\csc (x) (\cot (x) + 1) - 2 (\cot (x) + 1) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$\csc (x) \cot (x) + \csc (x) \cdot 1 - 2 (\cot (x) + 1) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$\csc (x) \cot (x) + \csc (x) \cdot 1 - 2 \cot (x) - 2 \cdot 1 = 0$

Simplifica cada término.

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Multiplica $\csc (x)$ por $1$ .

$\csc (x) \cot (x) + \csc (x) - 2 \cot (x) - 2 \cdot 1 = 0$

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\csc (x) \cot (x) + \csc (x) - 2 \cot (x) - 2 = 0$

Step 2

Factoriza $\csc (x) \cot (x) + \csc (x) - 2 \cot (x) - 2$ .

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Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\csc (x) \cot (x) + \csc (x) - 2 \cot (x) - 2 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\csc (x) (\cot (x) + 1) - 2 (\cot (x) + 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $\cot (x) + 1$ .

$(\cot (x) + 1) (\csc (x) - 2) = 0$

Step 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

$\csc (x) - 2 = 0$

Step 4

Establece $\cot (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\cot (x) + 1$ igual a $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

Resuelve $\cot (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\cot (x) = - 1$

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x = arccot (- 1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccot (- 1)$ es $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Suma $2 π$ a $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{4}$ es positivo y coterminal con $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Obtén el período de $\cot (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\cot (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

Establece $\csc (x) - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\csc (x) - 2$ igual a $0$ .

$\csc (x) - 2 = 0$

Resuelve $\csc (x) - 2 = 0$ en $x$ .

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Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\csc (x) = 2$

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (2)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccsc (2)$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

La cosecante es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Obtén el período de $\csc (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\csc (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\cot (x) + 1) (\csc (x) - 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 7

Consolida $\frac{3 π}{4} + π n$ y $\frac{7 π}{4} + π n$ en $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$