Trigonometría Ejemplos

${(1 + i)}^{6}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

$1^{6} + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 6 \cdot 1 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$1 + 6 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 6 i + 15 \cdot 1 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.5

Multiplica $15$ por $1$ .

$1 + 6 i + 15 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.6

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 6 i + 15 \cdot - 1 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.7

Multiplica $15$ por $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.9

Multiplica $20$ por $1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.10

Factoriza $i^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 (i^{2} \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.11

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 (- 1 \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.12

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 (- i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.13

Multiplica $- 1$ por $20$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.14

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.15

Multiplica $15$ por $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.16

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.16.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(i^{2})}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.16.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.16.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.17

Multiplica $15$ por $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.18

Multiplica $6$ por $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.19

Factoriza $i^{4}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (i^{4} i) + i^{6}$

Paso 2.1.20

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.20.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(i^{2})}^{2} i) + i^{6}$

Paso 2.1.20.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(- 1)}^{2} i) + i^{6}$

Paso 2.1.20.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (1 i) + i^{6}$

Paso 2.1.21

Multiplica $i$ por $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{6}$

Paso 2.1.22

Factoriza $i^{4}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{4} i^{2}$

Paso 2.1.23

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.23.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

Paso 2.1.23.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

Paso 2.1.23.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + 1 i^{2}$

Paso 2.1.24

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{2}$

Paso 2.1.25

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i - 1$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Resta $15$ de $1$ .

$- 14 + 6 i - 20 i + 15 + 6 i - 1$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.1

Suma $- 14$ y $15$ .

$1 + 6 i - 20 i + 6 i - 1$

Paso 2.2.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$0 + 6 i - 20 i + 6 i$

Paso 2.2.2.3

Suma $0$ y $6 i$ .

$6 i - 20 i + 6 i$

Paso 2.2.3

Resta $20 i$ de $6 i$ .

$- 14 i + 6 i$

Paso 2.2.4

Suma $- 14 i$ y $6 i$ .

$- 8 i$

Paso 3

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 4

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 5

Sustituye los valores reales de $a = 0$ y $b = - 8$ .

$| z | = \sqrt{{(- 8)}^{2}}$

Paso 6

Obtén $| z |$ .

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Paso 6.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Paso 6.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Paso 6.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 8$

Paso 7

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- 8}{0})$

Paso 8

Como el argumento es indefinido y $b$ es negativa, el ángulo del punto en el plano complejo es $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Paso 9

Sustituye los valores de $θ = \frac{3 π}{2}$ y $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$