Trigonometría Ejemplos

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) = - 2$

Step 1

Reemplaza $\sin^{2} (x)$ con $1 - \cos^{2} (x)$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) + 2 \cos (x) = - 2$

Step 2

Reordena el polinomio.

$- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = - 2$

Step 3

Sustituye $u$ por $\cos (x)$ .

$- {(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = - 2$

Step 4

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$- u^{2} + 2 u + 1 + 2 = 0$

Step 5

Suma $1$ y $2$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Step 6

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Factoriza $- 1$ de $- u^{2} + 2 u + 3$ .

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Factoriza $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Factoriza $- 1$ de $2 u$ .

$- u^{2} - (- 2 u) + 3 = 0$

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- u^{2} - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- u^{2} - (- 2 u)$ .

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ .

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Factoriza.

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Factoriza $u^{2} - 2 u - 3$ con el método AC.

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Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

Step 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Step 8

Establece $u - 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $u - 3$ igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 3$

Step 9

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Step 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (u - 3) (u + 1) = 0$ verdadera.

$u = 3, - 1$

Step 11

Sustituye $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = 3, - 1$

Step 12

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = 3$

$\cos (x) = - 1$

Step 13

Resuelve $x$ en $\cos (x) = 3$ .

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El rango del coseno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $3$ no está dentro de este rango, no hay solución.

No hay solución

Step 14

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - 1$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- 1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $π$ .

$x = π$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - π$

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 15

Enumera todas las soluciones.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$