Trigonometría Ejemplos

$\cot^{2} (x) + 4 \csc (x) = - 5$

Step 1

Reemplaza $\cot^{2} (x)$ con $\csc^{2} (x) - 1$ según la identidad de $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + 4 \csc (x) = - 5$

Step 2

Reordena el polinomio.

$\csc^{2} (x) + 4 \csc (x) - 1 = - 5$

Step 3

Sustituye $u$ por $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} + 4 (u) - 1 = - 5$

Step 4

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$u^{2} + 4 u - 1 + 5 = 0$

Step 5

Suma $- 1$ y $5$ .

$u^{2} + 4 u + 4 = 0$

Step 6

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u^{2} + 4 u + 2^{2} = 0$

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Reescribe el polinomio.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 2$ .

${(u + 2)}^{2} = 0$

Step 7

Establece $u + 2$ igual a $0$ .

$u + 2 = 0$

Step 8

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 2$

Step 9

Sustituye $\csc (x)$ por $u$ .

$\csc (x) = - 2$

Step 10

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (- 2)$

Step 11

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccsc (- 2)$ es $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Step 12

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Step 13

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Step 14

Obtén el período de $\csc (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Step 15

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $2 π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Step 16

El período de la función $\csc (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$