Trigonometría Ejemplos

$\cot^{2} (x) = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

Step 1

Reemplaza $\cot^{2} (x)$ con $\csc^{2} (x) - 1$ según la identidad de $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) - 1 = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

Step 2

Sustituye $u$ por $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} - 1 = - \frac{5}{2} u - 2$

Step 3

Simplifica cada término.

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Combina $u$ y $\frac{5}{2}$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{u \cdot 5}{2} - 2$

Mueve $5$ a la izquierda de $u$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{5 u}{2} - 2$

Step 4

Suma $\frac{5 u}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} = - 2$

Step 5

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} + 2 = 0$

Suma $- 1$ y $2$ .

$u^{2} + \frac{5 u}{2} + 1 = 0$

Step 6

Multiplica por el mínimo común denominador $2$ , luego simplifica.

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Aplica la propiedad distributiva.

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

Simplifica.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

Reescribe la expresión.

$2 u^{2} + 5 u + 2 \cdot 1 = 0$

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 u^{2} + 5 u + 2 = 0$

Step 7

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Step 8

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = 5$ y $c = 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

Step 9

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Multiplica $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2 \cdot 2}$

Resta $16$ de $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2}$

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \cdot 2}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$u = \frac{- 5 \pm 3}{2 \cdot 2}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm 3}{4}$

Step 10

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = - \frac{1}{2}, - 2$

Step 11

Sustituye $\csc (x)$ por $u$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}, - 2$

Step 12

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

Step 13

Resuelve $x$ en $\csc (x) = - \frac{1}{2}$ .

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El rango de la cosecante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $- \frac{1}{2}$ no se encuentra en este rango, no hay solución.

No hay solución

Step 14

Resuelve $x$ en $\csc (x) = - 2$ .

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Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (- 2)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccsc (- 2)$ es $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Obtén el período de $\csc (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $2 π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

El período de la función $\csc (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 15

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$