Trigonometría Ejemplos

$\cot^{2} (x) - 4 \csc (x) = - 5$

Step 1

Reemplaza $\cot^{2} (x)$ con $\csc^{2} (x) - 1$ según la identidad de $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) - 4 \csc (x) = - 5$

Step 2

Reordena el polinomio.

$\csc^{2} (x) - 4 \csc (x) - 1 = - 5$

Step 3

Sustituye $u$ por $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} - 4 u - 1 = - 5$

Step 4

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$u^{2} - 4 u - 1 + 5 = 0$

Step 5

Suma $- 1$ y $5$ .

$u^{2} - 4 u + 4 = 0$

Step 6

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u^{2} - 4 u + 2^{2} = 0$

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Reescribe el polinomio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 2$ .

${(u - 2)}^{2} = 0$

Step 7

Establece $u - 2$ igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Step 8

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 2$

Step 9

Sustituye $\csc (x)$ por $u$ .

$\csc (x) = 2$

Step 10

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (2)$

Step 11

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccsc (2)$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Step 12

La cosecante es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Step 13

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Step 14

Obtén el período de $\csc (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Step 15

El período de la función $\csc (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$