Trigonometría Ejemplos

$\csc^{2} (x) + 2 \csc (x) = 0$

Step 1

Factoriza $\csc (x)$ de $\csc^{2} (x) + 2 \csc (x)$ .

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Factoriza $\csc (x)$ de $\csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) \csc (x) + 2 \csc (x) = 0$

Factoriza $\csc (x)$ de $2 \csc (x)$ .

$\csc (x) \csc (x) + \csc (x) \cdot 2 = 0$

Factoriza $\csc (x)$ de $\csc (x) \csc (x) + \csc (x) \cdot 2$ .

$\csc (x) (\csc (x) + 2) = 0$

Step 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\csc (x) = 0$

$\csc (x) + 2 = 0$

Step 3

Establece $\csc (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\csc (x)$ igual a $0$ .

$\csc (x) = 0$

El rango de la cosecante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $0$ no se encuentra en este rango, no hay solución.

No hay solución

Step 4

Establece $\csc (x) + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\csc (x) + 2$ igual a $0$ .

$\csc (x) + 2 = 0$

Resuelve $\csc (x) + 2 = 0$ en $x$ .

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Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\csc (x) = - 2$

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (- 2)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccsc (- 2)$ es $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Obtén el período de $\csc (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $2 π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

El período de la función $\csc (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $\csc (x) (\csc (x) + 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$