Trigonometría Ejemplos

$\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x) = 1$

Step 1

Resta $\cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{3} \sin (x) = 1 - \cos (x)$

Step 2

Eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(\sqrt{3} \sin (x))}^{2} = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Step 3

Simplifica ${(\sqrt{3} \sin (x))}^{2}$ .

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Aplica la regla del producto a $\sqrt{3} \sin (x)$ .

${\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Reescribe la expresión.

$3^{1} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Evalúa el exponente.

$3 \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Step 4

Simplifica ${(1 - \cos (x))}^{2}$ .

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Reescribe ${(1 - \cos (x))}^{2}$ como $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

$3 \sin^{2} (x) = (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$

Expande $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$3 \sin^{2} (x) = 1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))$

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \sin^{2} (x) = 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))$

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \sin^{2} (x) = 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $1$ por $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

Multiplica $- \cos (x)$ por $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x))$

Multiplica $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)$

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Suma $1$ y $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Resta $\cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Step 5

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 \sin^{2} (x) - 1 = - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Suma $2 \cos (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$3 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) = \cos^{2} (x)$

Resta $\cos^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$3 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Step 6

Reemplaza $3 \sin^{2} (x)$ con $3 (1 - \cos^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Step 7

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Step 8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Resta $1$ de $3$ .

$- 3 \cos^{2} (x) + 2 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Resta $\cos^{2} (x)$ de $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$- 4 \cos^{2} (x) + 2 + 2 \cos (x) = 0$

Step 9

Reordena el polinomio.

$- 4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 2 = 0$

Step 10

Sustituye $u$ por $\cos (x)$ .

$- 4 {(u)}^{2} + 2 (u) + 2 = 0$

Step 11

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Factoriza $- 2$ de $- 4 u^{2} + 2 u + 2$ .

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Factoriza $- 2$ de $- 4 u^{2}$ .

$- 2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 = 0$

Factoriza $- 2$ de $2 u$ .

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) + 2 = 0$

Factoriza $- 2$ de $2$ .

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) - 2 \cdot - 1 = 0$

Factoriza $- 2$ de $- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u)$ .

$- 2 (2 u^{2} - u) - 2 \cdot - 1 = 0$

Factoriza $- 2$ de $- 2 (2 u^{2} - u) - 2 (- 1)$ .

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Factoriza.

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Factoriza por agrupación.

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Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Factoriza $- 1$ de $- u$ .

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$- 2 (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Multiplica $u$ por $1$ .

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- 2 (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u + 1$ .

$- 2 ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$

Step 12

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Step 13

Establece $2 u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $2 u + 1$ igual a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Resuelve $2 u + 1 = 0$ en $u$ .

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 u = - 1$

Divide cada término en $2 u = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 u = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{1}{2}$

Step 14

Establece $u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Step 15

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$ verdadera.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

Step 16

Sustituye $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}, 1$

Step 17

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

$\cos (x) = 1$

Step 18

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 19

Resuelve $x$ en $\cos (x) = 1$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$x = 0$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 20

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 21

Consolida las respuestas.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Step 22

Verifica cada una de las soluciones mediante su sustitución en $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x) = 1$ y resolución.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, 2 π n$ , para cualquier número entero $n$