Trigonometría Ejemplos

$4 (1 + \sin (x)) = \cos^{2} (x)$

Step 1

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{4 (1 + \sin (x))}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 2

Reemplaza $\cos (x)$ con una expresión equivalente en el numerador.

$4 (1 + \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 3

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 \cdot 1 + 4 \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 4

Multiplica $4$ por $1$ .

$(4 + 4 \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 5

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$(4 + 4 \sin (x)) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 6

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (\frac{1}{\cos (x)}) + 4 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 7

Combina $4$ y $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 8

Multiplica $4 \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Combina $\frac{1}{\cos (x)}$ y $4$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4}{\cos (x)} \cdot \sin (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Combina $\frac{4}{\cos (x)}$ y $\sin (x)$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 9

Simplifica cada término.

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Separa las fracciones.

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{4}{1} \cdot \sec (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Divide $4$ por $1$ .

$4 \sec (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Separa las fracciones.

$4 \sec (x) + \frac{4}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$4 \sec (x) + \frac{4}{1} \cdot \tan (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Divide $4$ por $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 10

Cancela el factor común de $\cos^{2} (x)$ y $\cos (x)$ .

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Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Cancela los factores comunes.

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Multiplica por $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Cancela el factor común.

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Reescribe la expresión.

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x)}{1}$

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \cos (x)$

Step 11

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica cada término.

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Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$4 \frac{1}{\cos (x)} + 4 \tan (x) = \cos (x)$

Combina $4$ y $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \tan (x) = \cos (x)$

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x)$

Combina $4$ y $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x)$

Step 12

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cos (x)$

Step 13

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) \frac{4}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Step 14

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Cancela el factor común.

$\cos (x) \frac{4}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Reescribe la expresión.

$4 + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Step 15

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Cancela el factor común.

$4 + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Reescribe la expresión.

$4 + 4 \sin (x) = \cos (x) \cos (x)$

Step 16

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{1} (x) \cos (x)$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 + 4 \sin (x) = {\cos (x)}^{1 + 1}$

Suma $1$ y $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{2} (x)$

Step 17

Resta $\cos^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$4 + 4 \sin (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Step 18

Reemplaza $\cos^{2} (x)$ con $1 - \sin^{2} (x)$ .

$4 + 4 \sin (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Step 19

Resuelve $x$

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Sustituye $u$ por $\sin (x)$ .

$4 + 4 (u) - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

Simplifica $4 + 4 u - (1 - u^{2})$ .

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Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$4 + 4 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$4 + 4 u - 1 - - u^{2} = 0$

Multiplica $- - u^{2}$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$4 + 4 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

Multiplica $u^{2}$ por $1$ .

$4 + 4 u - 1 + u^{2} = 0$

Resta $1$ de $4$ .

$4 u + 3 + u^{2} = 0$

Factoriza $4 u + 3 + u^{2}$ con el método AC.

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Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $4$ .

$1, 3$

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u + 1) (u + 3) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

$u + 3 = 0$

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Establece $u + 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $u + 3$ igual a $0$ .

$u + 3 = 0$

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 3$

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u + 1) (u + 3) = 0$ verdadera.

$u = - 1, - 3$

Sustituye $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = - 1, - 3$

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = - 3$

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - 1$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - 3$ .

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El rango del seno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 3$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida las respuestas.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$