Trigonometría Ejemplos

$1800 = 2600 {(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $2600 {(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = 1800$ .

$2600 {(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = 1800$

Paso 2

Divide cada término en $2600 {(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = 1800$ por $2600$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $2600 {(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = 1800$ por $2600$ .

$\frac{2600 {(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3}}{2600} = \frac{1800}{2600}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2600$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2600 {(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3}}{2600} = \frac{1800}{2600}$

Paso 2.2.1.2

Divide ${(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3}$ por $1$ .

${(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = \frac{1800}{2600}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $1800$ y $2600$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $200$ de $1800$ .

${(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = \frac{200 (9)}{2600}$

Paso 2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.2.1

Factoriza $200$ de $2600$ .

${(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = \frac{200 \cdot 9}{200 \cdot 13}$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

${(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = \frac{200 \cdot 9}{200 \cdot 13}$

Paso 2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

${(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = \frac{9}{13}$

Paso 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \sqrt[3]{\frac{9}{13}}$

Paso 4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{9}{13}}$ .

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Paso 4.1

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{9}{13}}$ como $\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{13}}$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{13}}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{13}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{2}}$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{13}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{2}}$

Paso 4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{13}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{2}}$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{\sqrt[3]{13} {\sqrt[3]{13}}^{2}}$

Paso 4.3.2

Eleva $\sqrt[3]{13}$ a la potencia de $1$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{1} {\sqrt[3]{13}}^{2}}$

Paso 4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{1 + 2}}$

Paso 4.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{3}}$

Paso 4.3.5

Reescribe ${\sqrt[3]{13}}^{3}$ como $13$ .

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Paso 4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{13}$ como $13^{\frac{1}{3}}$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{(13^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 4.3.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 4.3.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{\frac{3}{3}}}$

Paso 4.3.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.5.4.1

Cancela el factor común.

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{\frac{3}{3}}}$

Paso 4.3.5.4.2

Reescribe la expresión.

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{1}}$

Paso 4.3.5.5

Evalúa el exponente.

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13}$

Paso 4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.1

Reescribe ${\sqrt[3]{13}}^{2}$ como $\sqrt[3]{13^{2}}$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} \sqrt[3]{13^{2}}}{13}$

Paso 4.4.2

Eleva $13$ a la potencia de $2$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} \sqrt[3]{169}}{13}$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9 \cdot 169}}{13}$

Paso 4.5.2

Multiplica $9$ por $169$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{1521}}{13}$

Paso 5

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{1521}}{13} - 1$

Paso 6

Divide cada término en $- 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{1521}}{13} - 1$ por $- 0.51$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $- 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{1521}}{13} - 1$ por $- 0.51$ .

$\frac{- 0.51 e^{- 0.075 t}}{- 0.51} = \frac{\frac{\sqrt[3]{1521}}{13}}{- 0.51} + \frac{- 1}{- 0.51}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $- 0.51$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 0.51 e^{- 0.075 t}}{- 0.51} = \frac{\frac{\sqrt[3]{1521}}{13}}{- 0.51} + \frac{- 1}{- 0.51}$

Paso 6.2.1.2

Divide $e^{- 0.075 t}$ por $1$ .

$e^{- 0.075 t} = \frac{\frac{\sqrt[3]{1521}}{13}}{- 0.51} + \frac{- 1}{- 0.51}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{1521}}{13} \cdot \frac{1}{- 0.51} + \frac{- 1}{- 0.51}$

Paso 6.3.1.2

Divide $1$ por $- 0.51$ .

$e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{1521}}{13} \cdot - 1.96078431 + \frac{- 1}{- 0.51}$

Paso 6.3.1.3

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{1521}}{13} \cdot - 1.96078431$ .

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Paso 6.3.1.3.1

Combina $\frac{\sqrt[3]{1521}}{13}$ y $- 1.96078431$ .

$e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{1521} \cdot - 1.96078431}{13} + \frac{- 1}{- 0.51}$

Paso 6.3.1.3.2

Multiplica $\sqrt[3]{1521}$ por $- 1.96078431$ .

$e^{- 0.075 t} = \frac{- 22.54963735}{13} + \frac{- 1}{- 0.51}$

Paso 6.3.1.4

Divide $- 22.54963735$ por $13$ .

$e^{- 0.075 t} = - 1.73458748 + \frac{- 1}{- 0.51}$

Paso 6.3.1.5

Divide $- 1$ por $- 0.51$ .

$e^{- 0.075 t} = - 1.73458748 + 1.96078431$

Paso 6.3.2

Suma $- 1.73458748$ y $1.96078431$ .

$e^{- 0.075 t} = 0.22619682$

Paso 7

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- 0.075 t}) = \ln (0.22619682)$

Paso 8

Expande el lado izquierdo.

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Paso 8.1

Expande $\ln (e^{- 0.075 t})$ ; para ello, mueve $- 0.075 t$ fuera del logaritmo.

$- 0.075 t \ln (e) = \ln (0.22619682)$

Paso 8.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- 0.075 t \cdot 1 = \ln (0.22619682)$

Paso 8.3

Multiplica $- 0.075$ por $1$ .

$- 0.075 t = \ln (0.22619682)$

Paso 9

Divide cada término en $- 0.075 t = \ln (0.22619682)$ por $- 0.075$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $- 0.075 t = \ln (0.22619682)$ por $- 0.075$ .

$\frac{- 0.075 t}{- 0.075} = \frac{\ln (0.22619682)}{- 0.075}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $- 0.075$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 0.075 t}{- 0.075} = \frac{\ln (0.22619682)}{- 0.075}$

Paso 9.2.1.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{\ln (0.22619682)}{- 0.075}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$t = - \frac{\ln (0.22619682)}{0.075}$

Paso 9.3.2

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$t = - \frac{\log_{2.71828182} (0.22619682)}{0.075}$

Paso 9.3.3

El logaritmo en base $2.71828182$ de $0.22619682$ es aproximadamente $- 1.48634975$ .

$t = - \frac{- 1.48634975}{0.075}$

Paso 9.3.4

Divide $- 1.48634975$ por $0.075$ .

$t = - - 19.81799669$

Paso 9.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 19.81799669$ .

$t = 19.81799669$