Trigonometría Ejemplos

$\log_{2} ({(x)}^{2}) + 2 \log_{2} (x) = 15$

Step 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log_{2} (x^{2}) + 2 \log_{2} (x) = 15$

Step 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica $\log_{2} (x^{2}) + 2 \log_{2} (x)$ .

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Simplifica $2 \log_{2} (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (x^{2}) = 15$

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (x^{2} x^{2}) = 15$

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{2} (x^{2 + 2}) = 15$

Suma $2$ y $2$ .

$\log_{2} (x^{4}) = 15$

Step 3

Escribe en formato exponencial.

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Para ecuaciones logarítmicas, $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ tal que $x > 0$ , $b > 0$ y $b \neq 1$ . En este caso, $b = 2$ , $x = x^{4}$ y $y = 15$ .

$b = 2$

$x = x^{4}$

$y = 15$

Sustituye los valores de $b$ , $x$ y $y$ en la ecuación $b^{y} = x$ .

$2^{15} = x^{4}$

Step 4

Resuelve $x$

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Reescribe la ecuación como $x^{4} = 2^{15}$ .

$x^{4} = 2^{15}$

Calcula la raíz cuarta de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[4]{2^{15}}$

Simplifica $\pm \sqrt[4]{2^{15}}$ .

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Eleva $2$ a la potencia de $15$ .

$x = \pm \sqrt[4]{32768}$

Reescribe $32768$ como $8^{4} \cdot 8$ .

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Factoriza $4096$ de $32768$ .

$x = \pm \sqrt[4]{4096 (8)}$

Reescribe $4096$ como $8^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{8^{4} \cdot 8}$

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm 8 \sqrt[4]{8}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 8 \sqrt[4]{8}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 8 \sqrt[4]{8}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 8 \sqrt[4]{8}, - 8 \sqrt[4]{8}$

Step 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{2} ({(x)}^{2}) + 2 \log_{2} (x) = 15$ sea verdadera.

$x = 8 \sqrt[4]{8}$

Step 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 8 \sqrt[4]{8}$

Forma decimal:

$x = 13.45434264 \dots$