Trigonometría Ejemplos

$\frac{10^{x} + 10^{- x}}{10^{x} - 10^{- x}} = 6$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $10^{x} - 10^{- x}$ .

$\frac{10^{x} + 10^{- x}}{10^{x} - 10^{- x}} (10^{x} - 10^{- x}) = 6 (10^{x} - 10^{- x})$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $10^{x} - 10^{- x}$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10^{x} + 10^{- x}}{10^{x} - 10^{- x}} (10^{x} - 10^{- x}) = 6 (10^{x} - 10^{- x})$

Paso 2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$10^{x} + 10^{- x} = 6 (10^{x} - 10^{- x})$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Simplifica $6 (10^{x} - 10^{- x})$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$10^{x} + 10^{- x} = 6 \cdot 10^{x} + 6 (- 10^{- x})$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$10^{x} + 10^{- x} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe $10^{- x}$ como exponenciación.

$10^{x} + {(10^{x})}^{- 1} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Paso 3.2

Sustituye $u$ por $10^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Paso 3.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Paso 3.4

Reescribe $10^{- x}$ como exponenciación.

$u + \frac{1}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot {(10^{x})}^{- 1} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Paso 3.5

Sustituye $u$ por $10^{x}$ .

$u + \frac{1}{u} = 6 \cdot u - 6 \cdot u^{- 1} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Paso 3.6

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 6 u - 6 \cdot \frac{1}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Paso 3.6.2

Combina $- 6$ y $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{1}{u} = 6 u + \frac{- 6}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Paso 3.6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u + \frac{1}{u} = 6 u - \frac{6}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Paso 3.7

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.7.1

Resta $6 \cdot 10^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$10^{x} + 10^{- x} - 6 \cdot 10^{x} = - 6 \cdot 10^{- x}$

Paso 3.7.2

Suma $6 \cdot 10^{- x}$ a ambos lados de la ecuación.

$10^{x} + 10^{- x} - 6 \cdot 10^{x} + 6 \cdot 10^{- x} = 0$

Paso 3.7.3

Resta $6 \cdot 10^{x}$ de $10^{x}$ .

$10^{- x} - 5 \cdot 10^{x} + 6 \cdot 10^{- x} = 0$

Paso 3.7.4

Suma $10^{- x}$ y $6 \cdot 10^{- x}$ .

$7 \cdot 10^{- x} - 5 \cdot 10^{x} = 0$

Paso 3.8

Reescribe $10^{- x}$ como exponenciación.

$7 \cdot {(10^{x})}^{- 1} - 5 \cdot 10^{x} = 0$

Paso 3.9

Sustituye $u$ por $10^{x}$ .

$7 \cdot u^{- 1} - 5 \cdot u = 0$

Paso 3.10

Simplifica cada término.

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Paso 3.10.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 \cdot \frac{1}{u} - 5 \cdot u = 0$

Paso 3.10.2

Combina $7$ y $\frac{1}{u}$ .

$\frac{7}{u} - 5 u = 0$

Paso 3.11

Reordena $\frac{7}{u}$ y $- 5 u$ .

$- 5 u + \frac{7}{u} = 0$

Paso 3.12

Resuelve $u$

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Paso 3.12.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.12.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1$

Paso 3.12.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 3.12.2

Multiplica cada término en $- 5 u + \frac{7}{u} = 0$ por $u$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.12.2.1

Multiplica cada término en $- 5 u + \frac{7}{u} = 0$ por $u$ .

$- 5 u \cdot u + \frac{7}{u} u = 0 u$

Paso 3.12.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.12.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.12.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ sumando los exponentes.

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Paso 3.12.2.2.1.1.1

Mueve $u$ .

$- 5 (u \cdot u) + \frac{7}{u} u = 0 u$

Paso 3.12.2.2.1.1.2

Multiplica $u$ por $u$ .

$- 5 u^{2} + \frac{7}{u} u = 0 u$

Paso 3.12.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 3.12.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$- 5 u^{2} + \frac{7}{u} u = 0 u$

Paso 3.12.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$- 5 u^{2} + 7 = 0 u$

Paso 3.12.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.12.2.3.1

Multiplica $0$ por $u$ .

$- 5 u^{2} + 7 = 0$

Paso 3.12.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.12.3.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 u^{2} = - 7$

Paso 3.12.3.2

Divide cada término en $- 5 u^{2} = - 7$ por $- 5$ y simplifica.

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Paso 3.12.3.2.1

Divide cada término en $- 5 u^{2} = - 7$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 u^{2}}{- 5} = \frac{- 7}{- 5}$

Paso 3.12.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.12.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 3.12.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 u^{2}}{- 5} = \frac{- 7}{- 5}$

Paso 3.12.3.2.2.1.2

Divide $u^{2}$ por $1$ .

$u^{2} = \frac{- 7}{- 5}$

Paso 3.12.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.12.3.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$u^{2} = \frac{7}{5}$

Paso 3.12.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{\frac{7}{5}}$

Paso 3.12.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{7}{5}}$ .

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Paso 3.12.3.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{7}{5}}$ como $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$

Paso 3.12.3.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 3.12.3.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.12.3.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 3.12.3.4.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 3.12.3.4.3.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 3.12.3.4.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 3.12.3.4.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 3.12.3.4.3.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 3.12.3.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.12.3.4.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.12.3.4.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.12.3.4.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.12.3.4.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.12.3.4.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 3.12.3.4.3.6.5

Evalúa el exponente.

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5}$

Paso 3.12.3.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.12.3.4.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$u = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 5}}{5}$

Paso 3.12.3.4.4.2

Multiplica $7$ por $5$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{35}}{5}$

Paso 3.12.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.12.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$u = \frac{\sqrt{35}}{5}$

Paso 3.12.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$u = - \frac{\sqrt{35}}{5}$

Paso 3.12.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$u = \frac{\sqrt{35}}{5}, - \frac{\sqrt{35}}{5}$

Paso 3.13

Sustituye $\frac{\sqrt{35}}{5}$ por $u$ en $u = 10^{x}$ .

$\frac{\sqrt{35}}{5} = 10^{x}$

Paso 3.14

Resuelve $\frac{\sqrt{35}}{5} = 10^{x}$ .

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Paso 3.14.1

Reescribe la ecuación como $10^{x} = \frac{\sqrt{35}}{5}$ .

$10^{x} = \frac{\sqrt{35}}{5}$

Paso 3.14.2

Resta el logaritmo en base $10$ de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\log (10^{x}) = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Paso 3.14.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.14.3.1

Expande $\log (10^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \log (10) = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Paso 3.14.3.2

El logaritmo en base $10$ de $10$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Paso 3.14.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Paso 3.15

Sustituye $- \frac{\sqrt{35}}{5}$ por $u$ en $u = 10^{x}$ .

$- \frac{\sqrt{35}}{5} = 10^{x}$

Paso 3.16

Resuelve $- \frac{\sqrt{35}}{5} = 10^{x}$ .

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Paso 3.16.1

Reescribe la ecuación como $10^{x} = - \frac{\sqrt{35}}{5}$ .

$10^{x} = - \frac{\sqrt{35}}{5}$

Paso 3.16.2

Resta el logaritmo en base $10$ de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\log (10^{x}) = \log (- \frac{\sqrt{35}}{5})$

Paso 3.16.3

La ecuación no puede resolverse porque $\log (- \frac{\sqrt{35}}{5})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.16.4

No hay soluciones para $10^{x} = - \frac{\sqrt{35}}{5}$

No hay solución

Paso 3.17

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Forma decimal:

$x = 0.07306401 \dots$