Trigonometría Ejemplos

$\tan (112.5 °)$

Paso 1

Reescribe $112.5 °$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$\tan (\frac{225}{2})$

Paso 2

Aplica la razón del ángulo mitad de la tangente.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}}$

Paso 3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}}$

Paso 4

Simplifica $- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}}$ .

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Paso 4.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el tercer cuadrante.

$- \sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (225)}}$

Paso 4.2

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Paso 4.3

Multiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Paso 4.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Paso 4.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Paso 4.6

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}}$

Paso 4.7

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Paso 4.8

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Paso 4.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 4.10

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Paso 4.11

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.11.1

Cancela el factor común.

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Paso 4.11.2

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}$

Paso 4.12

Multiplica $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}$

Paso 4.13

Multiplica $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Paso 4.14

Expande el denominador con el método PEIU.

$- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Paso 4.15

Simplifica.

$- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Paso 4.16

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Paso 4.17

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.17.1

Cancela el factor común.

$- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Paso 4.17.2

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Paso 4.18

Combina $\sqrt{2}$ y $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Paso 4.19

Simplifica cada término.

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Paso 4.19.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Paso 4.19.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{2}$ .

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Paso 4.19.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

Paso 4.19.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.19.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

Paso 4.19.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

Paso 4.19.4.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

Paso 4.19.5

Cancela el factor común de $2 \sqrt{2} + 2$ y $2$ .

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Paso 4.19.5.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}}$

Paso 4.19.5.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}}$

Paso 4.19.5.3

Factoriza $2$ de $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}}$

Paso 4.19.5.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.19.5.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}}$

Paso 4.19.5.4.2

Cancela el factor común.

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}}$

Paso 4.19.5.4.3

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}}$

Paso 4.19.5.4.4

Divide $\sqrt{2} + 1$ por $1$ .

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}$

Paso 4.20

Suma $2$ y $1$ .

$- \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}$

Paso 4.21

Suma $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Forma decimal:

$- 2.41421356 \dots$