Trigonometría Ejemplos

$12^{2 x + 5} = 55 (7^{3 x})$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (12^{2 x + 5}) = \ln (55 \cdot 7^{3 x})$

Paso 2

Expande $\ln (12^{2 x + 5})$ ; para ello, mueve $2 x + 5$ fuera del logaritmo.

$(2 x + 5) \ln (12) = \ln (55 \cdot 7^{3 x})$

Paso 3

Reescribe $\ln (55 \cdot 7^{3 x})$ como $\ln (55) + \ln (7^{3 x})$ .

$(2 x + 5) \ln (12) = \ln (55) + \ln (7^{3 x})$

Paso 4

Expande $\ln (7^{3 x})$ ; para ello, mueve $3 x$ fuera del logaritmo.

$(2 x + 5) \ln (12) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Simplifica $(2 x + 5) \ln (12)$ .

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Paso 5.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \ln (12) + 5 \ln (12) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Paso 5.1.1.2

Simplifica $2 \ln (12)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$x \ln (12^{2}) + 5 \ln (12) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Paso 5.1.1.3

Simplifica $5 \ln (12)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$x \ln (12^{2}) + \ln (12^{5}) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Paso 5.1.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1.4.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$x \ln (144) + \ln (12^{5}) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Paso 5.1.1.4.2

Eleva $12$ a la potencia de $5$ .

$x \ln (144) + \ln (248832) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $3 \ln (7)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$x \ln (144) + \ln (248832) = \ln (55) + x \ln (7^{3})$

Paso 5.2.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$x \ln (144) + \ln (248832) = \ln (55) + x \ln (343)$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (144) + \ln (248832) - \ln (55) - x \ln (343) = 0$

Paso 5.4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (144) + \ln (\frac{248832}{55}) - x \ln (343) = 0$

Paso 5.5

Resta $\ln (\frac{248832}{55})$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (144) - x \ln (343) = - \ln (\frac{248832}{55})$

Paso 5.6

Factoriza $x$ de $x \ln (144) - x \ln (343)$ .

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Paso 5.6.1

Factoriza $x$ de $x \ln (144)$ .

$x (\ln (144)) - x \ln (343) = - \ln (\frac{248832}{55})$

Paso 5.6.2

Factoriza $x$ de $- x \ln (343)$ .

$x (\ln (144)) + x (- 1 \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$

Paso 5.6.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (144)) + x (- 1 \ln (343))$ .

$x (\ln (144) - 1 \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$

Paso 5.7

Reescribe $- 1 \ln (343)$ como $- \ln (343)$ .

$x (\ln (144) - \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$

Paso 5.8

Divide cada término en $x (\ln (144) - \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$ por $\ln (144) - \ln (343)$ y simplifica.

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Paso 5.8.1

Divide cada término en $x (\ln (144) - \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$ por $\ln (144) - \ln (343)$ .

$\frac{x (\ln (144) - \ln (343))}{\ln (144) - \ln (343)} = \frac{- \ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

Paso 5.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.8.2.1

Cancela el factor común de $\ln (144) - \ln (343)$ .

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Paso 5.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (144) - \ln (343))}{\ln (144) - \ln (343)} = \frac{- \ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

Paso 5.8.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

Paso 5.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.8.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{\ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

Forma decimal:

$x = 9.69816080 \dots$