Trigonometría Ejemplos

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 3 = 0$

Step 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Sea $u = \cos (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\cos (x)$ .

$u^{2} + 2 u - 3 = 0$

Factoriza $u^{2} + 2 u - 3$ con el método AC.

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Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $2$ .

$- 1, 3$

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 1) (u + 3) = 0$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 3) = 0$

Step 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 3 = 0$

Step 3

Establece $\cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Resuelve $\cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = 1$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$x = 0$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 4

Establece $\cos (x) + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\cos (x) + 3$ igual a $0$ .

$\cos (x) + 3 = 0$

Resuelve $\cos (x) + 3 = 0$ en $x$ .

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Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = - 3$

El rango del coseno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 3$ no está dentro de este rango, no hay solución.

No hay solución

Step 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 3) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

Consolida las respuestas.

$x = 2 π n$ , para cualquier número entero $n$