Trigonometría Ejemplos

$e^{2 x} - 30 e^{x} + 1 = 0$

Paso 1

Reescribe $e^{2 x}$ como exponenciación.

${(e^{x})}^{2} - 30 e^{x} + 1 = 0$

Paso 2

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$u^{2} - 30 u + 1 = 0$

Paso 3

Resuelve $u$

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Paso 3.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 30$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1.1

Eleva $- 30$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.1.3

Resta $4$ de $900$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{896}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.1.4

Reescribe $896$ como $8^{2} \cdot 14$ .

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Paso 3.3.1.4.1

Factoriza $64$ de $896$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{64 (14)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.1.4.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2}$

Paso 3.3.3

Simplifica $\frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2}$ .

$u = 15 \pm 4 \sqrt{14}$

Paso 3.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = 15 + 4 \sqrt{14}, 15 - 4 \sqrt{14}$

Paso 4

Sustituye $15 + 4 \sqrt{14}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$15 + 4 \sqrt{14} = e^{x}$

Paso 5

Resuelve $15 + 4 \sqrt{14} = e^{x}$ .

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = 15 + 4 \sqrt{14}$ .

$e^{x} = 15 + 4 \sqrt{14}$

Paso 5.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Paso 5.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Paso 5.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Paso 5.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Paso 6

Sustituye $15 - 4 \sqrt{14}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$15 - 4 \sqrt{14} = e^{x}$

Paso 7

Resuelve $15 - 4 \sqrt{14} = e^{x}$ .

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = 15 - 4 \sqrt{14}$ .

$e^{x} = 15 - 4 \sqrt{14}$

Paso 7.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Paso 7.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 7.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Paso 7.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Paso 7.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Paso 8

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14}), \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14}), \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Forma decimal:

$x = 3.40008441 \dots, - 3.40008441 \dots$