Trigonometría Ejemplos

$\sqrt{2 x - 2} = 1 + \sqrt{4 - x}$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{2 x - 2}}^{2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x - 2}$ como ${(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 x - 2)}^{1} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$2 x - 2 = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{4 - x}) (1 + \sqrt{4 - x})$ .

$2 x - 2 = (1 + \sqrt{4 - x}) (1 + \sqrt{4 - x})$

Paso 2.3.1.2

Expande $(1 + \sqrt{4 - x}) (1 + \sqrt{4 - x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x - 2 = 1 (1 + \sqrt{4 - x}) + \sqrt{4 - x} (1 + \sqrt{4 - x})$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x - 2 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} (1 + \sqrt{4 - x})$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x - 2 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$2 x - 2 = 1 + 1 \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

Paso 2.3.1.3.1.2

Multiplica $\sqrt{4 - x}$ por $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $\sqrt{4 - x}$ por $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

Paso 2.3.1.3.1.4

Multiplica $\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$ .

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Paso 2.3.1.3.1.4.1

Eleva $\sqrt{4 - x}$ a la potencia de $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{1} \sqrt{4 - x}$

Paso 2.3.1.3.1.4.2

Eleva $\sqrt{4 - x}$ a la potencia de $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{1} {\sqrt{4 - x}}^{1}$

Paso 2.3.1.3.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{1 + 1}$

Paso 2.3.1.3.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Paso 2.3.1.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{4 - x}}^{2}$ como $4 - x$ .

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Paso 2.3.1.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 - x}$ como ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.3.1.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.3.1.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{1}$

Paso 2.3.1.3.1.5.5

Simplifica.

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + 4 - x$

Paso 2.3.1.3.2

Suma $1$ y $4$ .

$2 x - 2 = 5 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} - x$

Paso 2.3.1.3.3

Suma $\sqrt{4 - x}$ y $\sqrt{4 - x}$ .

$2 x - 2 = 5 + 2 \sqrt{4 - x} - x$

Paso 3

Resuelve $2 \sqrt{4 - x}$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $5 + 2 \sqrt{4 - x} - x = 2 x - 2$ .

$5 + 2 \sqrt{4 - x} - x = 2 x - 2$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $2 \sqrt{4 - x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{4 - x} - x = 2 x - 2 - 5$

Paso 3.2.2

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{4 - x} = 2 x - 2 - 5 + x$

Paso 3.2.3

Suma $2 x$ y $x$ .

$2 \sqrt{4 - x} = 3 x - 2 - 5$

Paso 3.2.4

Resta $5$ de $- 2$ .

$2 \sqrt{4 - x} = 3 x - 7$

Paso 4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{4 - x})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Paso 5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 - x}$ como ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica ${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(4 - x)}^{1} = {(3 x - 7)}^{2}$

Paso 5.2.1.4

Simplifica.

$4 (4 - x) = {(3 x - 7)}^{2}$

Paso 5.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) = {(3 x - 7)}^{2}$

Paso 5.2.1.6

Multiplica.

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Paso 5.2.1.6.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$16 + 4 (- x) = {(3 x - 7)}^{2}$

Paso 5.2.1.6.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$16 - 4 x = {(3 x - 7)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Simplifica ${(3 x - 7)}^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1

Reescribe ${(3 x - 7)}^{2}$ como $(3 x - 7) (3 x - 7)$ .

$16 - 4 x = (3 x - 7) (3 x - 7)$

Paso 5.3.1.2

Expande $(3 x - 7) (3 x - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$16 - 4 x = 3 x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7)$

Paso 5.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$16 - 4 x = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x - 7)$

Paso 5.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$16 - 4 x = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Paso 5.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$16 - 4 x = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Paso 5.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$16 - 4 x = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Paso 5.3.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$16 - 4 x = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Paso 5.3.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Paso 5.3.1.3.1.4

Multiplica $- 7$ por $3$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 21 x - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Paso 5.3.1.3.1.5

Multiplica $3$ por $- 7$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7$

Paso 5.3.1.3.1.6

Multiplica $- 7$ por $- 7$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49$

Paso 5.3.1.3.2

Resta $21 x$ de $- 21 x$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 42 x + 49$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$9 x^{2} - 42 x + 49 = 16 - 4 x$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Suma $4 x$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x^{2} - 42 x + 49 + 4 x = 16$

Paso 6.2.2

Suma $- 42 x$ y $4 x$ .

$9 x^{2} - 38 x + 49 = 16$

Paso 6.3

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$9 x^{2} - 38 x + 49 - 16 = 0$

Paso 6.4

Resta $16$ de $49$ .

$9 x^{2} - 38 x + 33 = 0$

Paso 6.5

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot 33 = 297$ y cuya suma es $b = - 38$ .

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Paso 6.5.1.1

Factoriza $- 38$ de $- 38 x$ .

$9 x^{2} - 38 x + 33 = 0$

Paso 6.5.1.2

Reescribe $- 38$ como $- 11$ más $- 27$

$9 x^{2} + (- 11 - 27) x + 33 = 0$

Paso 6.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 x^{2} - 11 x - 27 x + 33 = 0$

Paso 6.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(9 x^{2} - 11 x) - 27 x + 33 = 0$

Paso 6.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (9 x - 11) - 3 (9 x - 11) = 0$

Paso 6.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $9 x - 11$ .

$(9 x - 11) (x - 3) = 0$

Paso 6.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$9 x - 11 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 6.7

Establece $9 x - 11$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.7.1

Establece $9 x - 11$ igual a $0$ .

$9 x - 11 = 0$

Paso 6.7.2

Resuelve $9 x - 11 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.7.2.1

Suma $11$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x = 11$

Paso 6.7.2.2

Divide cada término en $9 x = 11$ por $9$ y simplifica.

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Paso 6.7.2.2.1

Divide cada término en $9 x = 11$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{11}{9}$

Paso 6.7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 6.7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} = \frac{11}{9}$

Paso 6.7.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{11}{9}$

Paso 6.8

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.8.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 6.8.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 6.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(9 x - 11) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = \frac{11}{9}, 3$

Paso 7

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{2 x - 2} = 1 + \sqrt{4 - x}$ sea verdadera.

$x = 3$