Trigonometría Ejemplos

$\sqrt{2} \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - \sqrt{2} \cos (x) + 1 = 0$

Step 1

Factoriza $\sqrt{2} \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - \sqrt{2} \cos (x) + 1$ .

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Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\sqrt{2} \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - \sqrt{2} \cos (x) + 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\sin (x) (\sqrt{2} \cos (x) - 1) - (\sqrt{2} \cos (x) - 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $\sqrt{2} \cos (x) - 1$ .

$(\sqrt{2} \cos (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Step 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sqrt{2} \cos (x) - 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Step 3

Establece $\sqrt{2} \cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\sqrt{2} \cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$\sqrt{2} \cos (x) - 1 = 0$

Resuelve $\sqrt{2} \cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{2} \cos (x) = 1$

Divide cada término en $\sqrt{2} \cos (x) = 1$ por $\sqrt{2}$ y simplifica.

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Divide cada término en $\sqrt{2} \cos (x) = 1$ por $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $\sqrt{2}$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Evalúa el exponente.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Resta $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 4

Establece $\sin (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\sin (x) - 1$ igual a $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Resuelve $\sin (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = 1$

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\sqrt{2} \cos (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$