Trigonometría Ejemplos

$\sin^{4} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 3 = 0$

Step 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Reescribe $\sin^{4} (x)$ como ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} + 2 \sin^{2} (x) - 3 = 0$

Sea $u = \sin^{2} (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\sin^{2} (x)$ .

$u^{2} + 2 u - 3 = 0$

Factoriza $u^{2} + 2 u - 3$ con el método AC.

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Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $2$ .

$- 1, 3$

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 1) (u + 3) = 0$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin^{2} (x)$ .

$(\sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) + 3) = 0$

Step 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin^{2} (x) - 1 = 0$

$\sin^{2} (x) + 3 = 0$

Step 3

Establece $\sin^{2} (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\sin^{2} (x) - 1$ igual a $0$ .

$\sin^{2} (x) - 1 = 0$

Resuelve $\sin^{2} (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\sin^{2} (x) = 1$

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sin (x) = \pm \sqrt{1}$

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\sin (x) = \pm 1$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sin (x) = 1$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sin (x) = - 1$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sin (x) = 1, - 1$

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = 1$

$\sin (x) = - 1$

Resuelve $x$ en $\sin (x) = 1$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - 1$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 4

Establece $\sin^{2} (x) + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\sin^{2} (x) + 3$ igual a $0$ .

$\sin^{2} (x) + 3 = 0$

Resuelve $\sin^{2} (x) + 3 = 0$ en $x$ .

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Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin^{2} (x) = - 3$

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 3}$

Simplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\sin (x) = \pm i \sqrt{3}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sin (x) = i \sqrt{3}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sin (x) = - i \sqrt{3}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sin (x) = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = i \sqrt{3}$

$\sin (x) = - i \sqrt{3}$

Resuelve $x$ en $\sin (x) = i \sqrt{3}$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (i \sqrt{3})$

La inversa del seno de $\arcsin (i \sqrt{3})$ es indefinida.

Indefinida

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - i \sqrt{3}$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- i \sqrt{3})$

La inversa del seno de $\arcsin (- i \sqrt{3})$ es indefinida.

Indefinida

Enumera todas las soluciones.

No hay solución

Step 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) + 3) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$