Trigonometría Ejemplos

$\tan^{2} (x) = 2 \tan (x) + 1$

Step 1

Sustituye $u$ por $\tan (x)$ .

${(u)}^{2} = 2 (u) + 1$

Step 2

Resta $2 u$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} - 2 u = 1$

Step 3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Step 4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Step 5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Step 6

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Suma $4$ y $4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Factoriza $4$ de $8$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 1 \pm \sqrt{2}$

Step 7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Step 8

Sustituye $\tan (x)$ por $u$ .

$\tan (x) = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Step 9

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\tan (x) = 1 + \sqrt{2}$

$\tan (x) = 1 - \sqrt{2}$

Step 10

Resuelve $x$ en $\tan (x) = 1 + \sqrt{2}$ .

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Convierte el lado derecho de la ecuación a su equivalente decimal.

$\tan (x) = 2.41421356$

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (2.41421356)$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\arctan (2.41421356)$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{3 π}{8}$

Simplifica $π + \frac{3 π}{8}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$x = π \cdot \frac{8}{8} + \frac{3 π}{8}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{8}{8}$ .

$x = \frac{π \cdot 8}{8} + \frac{3 π}{8}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 8 + 3 π}{8}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $8$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{8 \cdot π + 3 π}{8}$

Suma $8 π$ y $3 π$ .

$x = \frac{11 π}{8}$

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{8} + π n, \frac{11 π}{8} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 11

Resuelve $x$ en $\tan (x) = 1 - \sqrt{2}$ .

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Convierte el lado derecho de la ecuación a su equivalente decimal.

$\tan (x) = - 0.41421356$

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- 0.41421356)$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Evalúa $\arctan (- 0.41421356)$ .

$x = - \frac{π}{8}$

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{π}{8} - π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Suma $2 π$ a $- \frac{π}{8} - π$ .

$x = - \frac{π}{8} - π + 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{8}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{8} - π$ .

$x = \frac{7 π}{8}$

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $π$ y $- \frac{π}{8}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{8} + π$

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$π \cdot \frac{8}{8} - \frac{π}{8}$

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Combina $π$ y $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \cdot 8}{8} - \frac{π}{8}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 8 - π}{8}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $8$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{8 \cdot π - π}{8}$

Resta $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{8}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{7 π}{8}$

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 12

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{3 π}{8} + π n, \frac{11 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 13

Consolida las respuestas.

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$