Trigonometría Ejemplos

$\sec^{2} (x) + 2 \tan (x) = 6$

Step 1

Reemplaza $\sec^{2} (x)$ con $1 + \tan^{2} (x)$ según la identidad de $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + 2 \tan (x) = 6$

Step 2

Reordena el polinomio.

$\tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + 1 = 6$

Step 3

Sustituye $u$ por $\tan (x)$ .

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 6$

Step 4

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} + 2 u + 1 - 6 = 0$

Resta $6$ de $1$ .

$u^{2} + 2 u - 5 = 0$

Step 5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Step 6

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = - 5$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Step 7

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Suma $4$ y $20$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Factoriza $4$ de $24$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$u = - 1 \pm \sqrt{6}$

Step 8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = - 1 + \sqrt{6}, - 1 - \sqrt{6}$

Step 9

Sustituye $\tan (x)$ por $u$ .

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{6}, - 1 - \sqrt{6}$

Step 10

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{6}$

$\tan (x) = - 1 - \sqrt{6}$

Step 11

Resuelve $x$ en $\tan (x) = - 1 + \sqrt{6}$ .

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Convierte el lado derecho de la ecuación a su equivalente decimal.

$\tan (x) = 1.44948974$

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (1.44948974)$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\arctan (1.44948974)$ .

$x = 0.96688248$

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = (3.14159265) + 0.96688248$

Resuelve $x$

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Elimina los paréntesis.

$x = 3.14159265 + 0.96688248$

Elimina los paréntesis.

$x = (3.14159265) + 0.96688248$

Suma $3.14159265$ y $0.96688248$ .

$x = 4.10847514$

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 0.96688248 + π n, 4.10847514 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 12

Resuelve $x$ en $\tan (x) = - 1 - \sqrt{6}$ .

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Convierte el lado derecho de la ecuación a su equivalente decimal.

$\tan (x) = - 3.44948974$

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- 3.44948974)$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\arctan (- 3.44948974)$ .

$x = - 1.28863304$

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - 1.28863304 - (3.14159265)$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Suma $2 π$ a $- 1.28863304 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.28863304 - (3.14159265) + 2 π$

El ángulo resultante de $1.85295961$ es positivo y coterminal con $- 1.28863304 - (3.14159265)$ .

$x = 1.85295961$

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $π$ y $- 1.28863304$ para obtener el ángulo positivo.

$- 1.28863304 + π$

Reemplaza con aproximación decimal.

$3.14159265 - 1.28863304$

Resta $1.28863304$ de $3.14159265$ .

$1.85295961$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = 1.85295961$

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.85295961 + π n, 1.85295961 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 13

Enumera todas las soluciones.

$x = 0.96688248 + π n, 4.10847514 + π n, 1.85295961 + π n, 1.85295961 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 14

Consolida las soluciones.

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Consolida $0.96688248 + π n$ y $4.10847514 + π n$ en $0.96688248 + π n$ .

$x = 0.96688248 + π n, 1.85295961 + π n, 1.85295961 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida $1.85295961 + π n$ y $1.85295961 + π n$ en $1.85295961 + π n$ .

$x = 0.96688248 + π n, 1.85295961 + π n$ , para cualquier número entero $n$