Trigonometría Ejemplos

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Step 1

Resta $\frac{\sqrt{3}}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Step 2

Reemplaza $\sin^{2} (x)$ con $1 - \cos^{2} (x)$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Step 3

Resta $\cos^{2} (x)$ de $- \cos^{2} (x)$ .

$1 - 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Step 4

Reordena el polinomio.

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Step 5

Mueve todos los términos que no contengan $\cos (x)$ al lado derecho de la ecuación.

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1$

Suma $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Step 6

Divide cada término en $- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ por $- 2$ y simplifica.

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Divide cada término en $- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $- 2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Divide $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica cada término.

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La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{1}{2})$

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

Step 7

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Step 8

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$ .

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Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

Reescribe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Simplifica el denominador.

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Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Step 9

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}, - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Step 10

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Step 11

Resuelve $x$ en $\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\arccos (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{5 π}{12}$

Simplifica $2 π - \frac{5 π}{12}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{12}{12}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{12}{12}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 12 - 5 π}{12}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $12$ por $2$ .

$x = \frac{24 π - 5 π}{12}$

Resta $5 π$ de $24 π$ .

$x = \frac{19 π}{12}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{5 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 12

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{7 π}{12}$

Simplifica $2 π - \frac{7 π}{12}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{12}{12}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{7 π}{12}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{12}{12}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{7 π}{12}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 12 - 7 π}{12}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $12$ por $2$ .

$x = \frac{24 π - 7 π}{12}$

Resta $7 π$ de $24 π$ .

$x = \frac{17 π}{12}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{17 π}{12} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 13

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{5 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n, \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{17 π}{12} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 14

Consolida las soluciones.

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Consolida $\frac{5 π}{12} + 2 π n$ y $\frac{17 π}{12} + 2 π n$ en $\frac{5 π}{12} + π n$ .

$x = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n, \frac{7 π}{12} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida $\frac{19 π}{12} + 2 π n$ y $\frac{7 π}{12} + 2 π n$ en $\frac{7 π}{12} + π n$ .

$x = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + π n$ , para cualquier número entero $n$