Trigonometría Ejemplos

$\log_{2} (x + 3) = 3 - \log_{2} (x + 5)$

Step 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log_{2} (x + 3) + \log_{2} (x + 5) = 3$

Step 2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x + 3) (x + 5)) = 3$

Step 3

Expande $(x + 3) (x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (x (x + 5) + 3 (x + 5)) = 3$

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 5 + 3 (x + 5)) = 3$

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5) = 3$

Step 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5) = 3$

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 5 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 5) = 3$

Multiplica $3$ por $5$ .

$\log_{2} (x^{2} + 5 x + 3 x + 15) = 3$

Suma $5 x$ y $3 x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 8 x + 15) = 3$

Step 5

Reescribe $\log_{2} (x^{2} + 8 x + 15) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{3} = x^{2} + 8 x + 15$

Step 6

Resuelve $x$

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Reescribe la ecuación como $x^{2} + 8 x + 15 = 2^{3}$ .

$x^{2} + 8 x + 15 = 2^{3}$

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$x^{2} + 8 x + 15 = 8$

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 8 x + 15 - 8 = 0$

Resta $8$ de $15$ .

$x^{2} + 8 x + 7 = 0$

Factoriza $x^{2} + 8 x + 7$ con el método AC.

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Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $7$ y cuya suma es $8$ .

$1, 7$

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 1) (x + 7) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 7 = 0$

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Establece $x + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x + 7$ igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x + 7) = 0$ verdadera.

$x = - 1, - 7$

Step 7

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{2} (x + 3) = 3 - \log_{2} (x + 5)$ sea verdadera.

$x = - 1$