Trigonometría Ejemplos

$2 \cos^{2} (x) = 13 \sin (x) - 5$

Step 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Resta $13 \sin (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \cos^{2} (x) - 13 \sin (x) = - 5$

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \cos^{2} (x) - 13 \sin (x) + 5 = 0$

Step 2

Reemplaza $2 \cos^{2} (x)$ con $2 (1 - \sin^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \sin^{2} (x)) - 13 \sin (x) + 5 = 0$

Step 3

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 (- \sin^{2} (x)) - 13 \sin (x) + 5 = 0$

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 2 (- \sin^{2} (x)) - 13 \sin (x) + 5 = 0$

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 - 2 \sin^{2} (x) - 13 \sin (x) + 5 = 0$

Step 4

Suma $2$ y $5$ .

$- 2 \sin^{2} (x) - 13 \sin (x) + 7 = 0$

Step 5

Sustituye $u$ por $\sin (x)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 13 u + 7 = 0$

Step 6

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Factoriza $- 1$ de $- 2 u^{2} - 13 u + 7$ .

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Factoriza $- 1$ de $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) - 13 u + 7 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- 13 u$ .

$- (2 u^{2}) - (13 u) + 7 = 0$

Reescribe $7$ como $- 1 (- 7)$ .

$- (2 u^{2}) - (13 u) - 1 \cdot - 7 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- (2 u^{2}) - (13 u)$ .

$- (2 u^{2} + 13 u) - 1 \cdot - 7 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- (2 u^{2} + 13 u) - 1 (- 7)$ .

$- (2 u^{2} + 13 u - 7) = 0$

Factoriza.

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Factoriza por agrupación.

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Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 7 = - 14$ y cuya suma es $b = 13$ .

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Factoriza $13$ de $13 u$ .

$- (2 u^{2} + 13 u - 7) = 0$

Reescribe $13$ como $- 1$ más $14$

$- (2 u^{2} + (- 1 + 14) u - 7) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$- (2 u^{2} - 1 u + 14 u - 7) = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- (2 u^{2} - 1 u + 14 u - 7) = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (u (2 u - 1) + 7 (2 u - 1)) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u + 7)) = 0$

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (2 u - 1) (u + 7) = 0$

Step 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 7 = 0$

Step 8

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $2 u - 1$ igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Resuelve $2 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u = 1$

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Step 9

Establece $u + 7$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $u + 7$ igual a $0$ .

$u + 7 = 0$

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 7$

Step 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (2 u - 1) (u + 7) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{2}, - 7$

Step 11

Sustituye $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 7$

Step 12

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 7$

Step 13

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 14

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - 7$ .

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El rango del seno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 7$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Step 15

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$