Trigonometría Ejemplos

$2 \cos^{2} (2 x) - \cos (2 x) - 1 = 0$

Step 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Sea $u = \cos (2 x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\cos (2 x)$ .

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

Factoriza por agrupación.

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Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Factoriza $- 1$ de $- u$ .

$2 u^{2} - (u) - 1 = 0$

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

Multiplica $u$ por $1$ .

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (2 x)$ .

$(2 \cos (2 x) + 1) (\cos (2 x) - 1) = 0$

Step 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 \cos (2 x) + 1 = 0$

$\cos (2 x) - 1 = 0$

Step 3

Establece $2 \cos (2 x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $2 \cos (2 x) + 1$ igual a $0$ .

$2 \cos (2 x) + 1 = 0$

Resuelve $2 \cos (2 x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (2 x) = - 1$

Divide cada término en $2 \cos (2 x) = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \cos (2 x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Divide $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$2 x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π}{3}$

Divide cada término en $2 x = \frac{2 π}{3}$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = \frac{2 π}{3}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Factoriza $2$ de $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π}{3}$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$2 x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Resuelve $x$

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Simplifica.

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Multiplica $3$ por $2$ .

$2 x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$2 x = \frac{4 π}{3}$

Divide cada término en $2 x = \frac{4 π}{3}$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = \frac{4 π}{3}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Factoriza $2$ de $4 π$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2 π}{3}$

Obtén el período de $\cos (2 x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\cos (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 4

Establece $\cos (2 x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\cos (2 x) - 1$ igual a $0$ .

$\cos (2 x) - 1 = 0$

Resuelve $\cos (2 x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (2 x) = 1$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$2 x = \arccos (1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$2 x = 0$

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$2 x = 2 π - 0$

Resuelve $x$

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Simplifica.

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Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 x = 2 π + 0$

Suma $2 π$ y $0$ .

$2 x = 2 π$

Divide cada término en $2 x = 2 π$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = 2 π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 π}{2}$

Divide $π$ por $1$ .

$x = π$

Obtén el período de $\cos (2 x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\cos (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π n, π + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 \cos (2 x) + 1) (\cos (2 x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, π n, π + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$