Trigonometría Ejemplos

$2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Step 1

Sustituye $u$ por $\cos (x)$ .

$2 {(u)}^{2} - 2 u - 1 = 0$

Step 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Step 3

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = - 2$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Step 4

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Multiplica $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Suma $4$ y $8$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Factoriza $4$ de $12$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Step 5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Step 6

Sustituye $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Step 7

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Step 8

Resuelve $x$ en $\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

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El rango del coseno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ no está dentro de este rango, no hay solución.

No hay solución

Step 9

Resuelve $x$ en $\cos (x) = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\arccos (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$ .

$x = 1.94553075$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.94553075$

Resuelve $x$

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Elimina los paréntesis.

$x = 2 (3.14159265) - 1.94553075$

Simplifica $2 (3.14159265) - 1.94553075$ .

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Multiplica $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.94553075$

Resta $1.94553075$ de $6.2831853$ .

$x = 4.33765454$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.94553075 + 2 π n, 4.33765454 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 10

Enumera todas las soluciones.

$x = 1.94553075 + 2 π n, 4.33765454 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$