Trigonometría Ejemplos

$2 \cot^{2} (x) + 3 \csc (x) = 0$

Step 1

Reemplaza $2 \cot^{2} (x)$ con $2 (\csc^{2} (x) - 1)$ según la identidad de $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) - 1) + 3 \csc (x) = 0$

Step 2

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$2 \csc^{2} (x) + 2 \cdot - 1 + 3 \csc (x) = 0$

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \csc^{2} (x) - 2 + 3 \csc (x) = 0$

Step 3

Reordena el polinomio.

$2 \csc^{2} (x) + 3 \csc (x) - 2 = 0$

Step 4

Sustituye $u$ por $\csc (x)$ .

$2 {(u)}^{2} + 3 (u) - 2 = 0$

Step 5

Factoriza por agrupación.

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Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Factoriza $3$ de $3 u$ .

$2 u^{2} + 3 u - 2 = 0$

Reescribe $3$ como $- 1$ más $4$

$2 u^{2} + (- 1 + 4) u - 2 = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 2) = 0$

Step 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Step 7

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $2 u - 1$ igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Resuelve $2 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u = 1$

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Step 8

Establece $u + 2$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $u + 2$ igual a $0$ .

$u + 2 = 0$

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 2$

Step 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 u - 1) (u + 2) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{2}, - 2$

Step 10

Sustituye $\csc (x)$ por $u$ .

$\csc (x) = \frac{1}{2}, - 2$

Step 11

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\csc (x) = \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

Step 12

Resuelve $x$ en $\csc (x) = \frac{1}{2}$ .

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El rango de la cosecante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $\frac{1}{2}$ no se encuentra en este rango, no hay solución.

No hay solución

Step 13

Resuelve $x$ en $\csc (x) = - 2$ .

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Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (- 2)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccsc (- 2)$ es $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Obtén el período de $\csc (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $2 π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

El período de la función $\csc (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 14

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$