Trigonometría Ejemplos

$16 \sin^{2} (x) = 16 - 8 \cos (x)$

Step 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$16 \sin^{2} (x) - 16 = - 8 \cos (x)$

Suma $8 \cos (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$16 \sin^{2} (x) - 16 + 8 \cos (x) = 0$

Step 2

Simplifica $16 \sin^{2} (x) - 16 + 8 \cos (x)$ .

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Reordena $16 \sin^{2} (x)$ y $- 16$ .

$- 16 + 16 \sin^{2} (x) + 8 \cos (x) = 0$

Factoriza $- 16$ de $- 16$ .

$- 16 (1) + 16 \sin^{2} (x) + 8 \cos (x) = 0$

Factoriza $- 16$ de $16 \sin^{2} (x)$ .

$- 16 (1) - 16 (- \sin^{2} (x)) + 8 \cos (x) = 0$

Factoriza $- 16$ de $- 16 (1) - 16 (- \sin^{2} (x))$ .

$- 16 (1 - \sin^{2} (x)) + 8 \cos (x) = 0$

Aplica la identidad pitagórica.

$- 16 \cos^{2} (x) + 8 \cos (x) = 0$

Step 3

Resuelve $x$

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Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Sea $u = \cos (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\cos (x)$ .

$- 16 u^{2} + 8 u = 0$

Factoriza $8 u$ de $- 16 u^{2} + 8 u$ .

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Factoriza $8 u$ de $- 16 u^{2}$ .

$8 u (- 2 u) + 8 u = 0$

Factoriza $8 u$ de $8 u$ .

$8 u (- 2 u) + 8 u (1) = 0$

Factoriza $8 u$ de $8 u (- 2 u) + 8 u (1)$ .

$8 u (- 2 u + 1) = 0$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$8 \cos (x) (- 2 \cos (x) + 1) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- 2 \cos (x) + 1 = 0$

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Establece $- 2 \cos (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $- 2 \cos (x) + 1$ igual a $0$ .

$- 2 \cos (x) + 1 = 0$

Resuelve $- 2 \cos (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \cos (x) = - 1$

Divide cada término en $- 2 \cos (x) = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Divide cada término en $- 2 \cos (x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $- 2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Simplifica el lado derecho.

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La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

La solución final comprende todos los valores que hacen $8 \cos (x) (- 2 \cos (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 4

Consolida $\frac{π}{2} + 2 π n$ y $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$