Trigonometría Ejemplos

$16 \sin (x) = 4 \cos^{2} (x) - 11$

Step 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Resta $4 \cos^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$16 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) = - 11$

Suma $11$ a ambos lados de la ecuación.

$16 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 11 = 0$

Step 2

Reemplaza $- 4 \cos^{2} (x)$ con $- 4 (1 - \sin^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$16 \sin (x) - 4 (1 - \sin^{2} (x)) + 11 = 0$

Step 3

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$16 \sin (x) - 4 \cdot 1 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 11 = 0$

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$16 \sin (x) - 4 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 11 = 0$

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$16 \sin (x) - 4 + 4 \sin^{2} (x) + 11 = 0$

Step 4

Suma $- 4$ y $11$ .

$16 \sin (x) + 4 \sin^{2} (x) + 7 = 0$

Step 5

Reordena el polinomio.

$4 \sin^{2} (x) + 16 \sin (x) + 7 = 0$

Step 6

Sustituye $u$ por $\sin (x)$ .

$4 {(u)}^{2} + 16 (u) + 7 = 0$

Step 7

Factoriza por agrupación.

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Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 7 = 28$ y cuya suma es $b = 16$ .

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Factoriza $16$ de $16 u$ .

$4 u^{2} + 16 u + 7 = 0$

Reescribe $16$ como $2$ más $14$

$4 u^{2} + (2 + 14) u + 7 = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$4 u^{2} + 2 u + 14 u + 7 = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$4 u^{2} + 2 u + 14 u + 7 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 u (2 u + 1) + 7 (2 u + 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (2 u + 7) = 0$

Step 8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$2 u + 7 = 0$

Step 9

Establece $2 u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $2 u + 1$ igual a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Resuelve $2 u + 1 = 0$ en $u$ .

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 u = - 1$

Divide cada término en $2 u = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 u = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{1}{2}$

Step 10

Establece $2 u + 7$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $2 u + 7$ igual a $0$ .

$2 u + 7 = 0$

Resuelve $2 u + 7 = 0$ en $u$ .

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Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$2 u = - 7$

Divide cada término en $2 u = - 7$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 u = - 7$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 7}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 7}{2}$

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 7}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{7}{2}$

Step 11

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 u + 1) (2 u + 7) = 0$ verdadera.

$u = - \frac{1}{2}, - \frac{7}{2}$

Step 12

Sustituye $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}, - \frac{7}{2}$

Step 13

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - \frac{7}{2}$

Step 14

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $2 π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 15

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{7}{2}$ .

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El rango del seno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- \frac{7}{2}$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Step 16

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$