Trigonometría Ejemplos

$2 \sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 2 = 0$

Step 1

Sustituye $u$ por $\sin (x)$ .

$2 {(u)}^{2} + 4 (u) + 2 = 0$

Step 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $2 u^{2} + 4 u + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $2 u^{2}$ .

$2 u^{2} + 4 u + 2 = 0$

Factoriza $2$ de $4 u$ .

$2 u^{2} + 2 (2 u) + 2 = 0$

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 u^{2} + 2 (2 u) + 2 (1) = 0$

Factoriza $2$ de $2 u^{2} + 2 (2 u)$ .

$2 (u^{2} + 2 u) + 2 (1) = 0$

Factoriza $2$ de $2 (u^{2} + 2 u) + 2 (1)$ .

$2 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Reescribe el polinomio.

$2 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 1$ .

$2 {(u + 1)}^{2} = 0$

Step 3

Divide cada término en $2 {(u + 1)}^{2} = 0$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en $2 {(u + 1)}^{2} = 0$ por $2$ .

$\frac{2 {(u + 1)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 {(u + 1)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Divide ${(u + 1)}^{2}$ por $1$ .

${(u + 1)}^{2} = \frac{0}{2}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Divide $0$ por $2$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Step 4

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Step 5

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Step 6

Sustituye $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = - 1$

Step 7

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Step 8

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Step 9

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Step 10

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

Toca para ver más pasos...

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Step 11

Obtén el período de $\sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Step 12

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

Toca para ver más pasos...

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Step 13

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 14

Consolida las respuestas.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$