Trigonometría Ejemplos

$2 \tan (x) - \sec^{2} (x) = 0$

Step 1

Reemplaza $- \sec^{2} (x)$ con $- (1 + \tan^{2} (x))$ según la identidad de $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 \tan (x) - (1 + \tan^{2} (x)) = 0$

Step 2

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$2 \tan (x) - 1 \cdot 1 - \tan^{2} (x) = 0$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 \tan (x) - 1 - \tan^{2} (x) = 0$

Step 3

Reordena el polinomio.

$- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) - 1 = 0$

Step 4

Sustituye $u$ por $\tan (x)$ .

$- {(u)}^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

Step 5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Factoriza $- 1$ de $- u^{2} + 2 u - 1$ .

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Factoriza $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- u^{2} + 2 u - 1 = 0$

Factoriza $- 1$ de $2 u$ .

$- u^{2} - (- 2 u) - 1 = 0$

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- u^{2} - (- 2 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- u^{2} - (- 2 u)$ .

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- (u^{2} - 2 u) - 1 (1)$ .

$- (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Reescribe el polinomio.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 1$ .

$- {(u - 1)}^{2} = 0$

Step 6

Divide cada término en $- {(u - 1)}^{2} = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Divide cada término en $- {(u - 1)}^{2} = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- {(u - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Simplifica el lado izquierdo.

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La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{{(u - 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Divide ${(u - 1)}^{2}$ por $1$ .

${(u - 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $- 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Step 7

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Step 8

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Step 9

Sustituye $\tan (x)$ por $u$ .

$\tan (x) = 1$

Step 10

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Step 11

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Step 12

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Step 13

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Step 14

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Step 15

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 16

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$