Trigonometría Ejemplos

$2 \cos (\frac{1}{2} x) - \sqrt{2} = 0$

Step 1

Suma $\sqrt{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (\frac{1}{2} x) = \sqrt{2}$

Step 2

Divide cada término en $2 \cos (\frac{1}{2} x) = \sqrt{2}$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \cos (\frac{1}{2} x) = \sqrt{2}$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (\frac{1}{2} x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (\frac{1}{2} x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Divide $\cos (\frac{1}{2} x)$ por $1$ .

$\cos (\frac{1}{2} x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Step 3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$\frac{1}{2} x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Step 4

Simplifica el lado izquierdo.

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Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{x}{2} = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Step 5

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Step 6

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Step 7

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Simplifica el lado derecho.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Factoriza $2$ de $4$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π}{2}$

Step 8

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{4}$

Step 9

Resuelve $x$

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Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{4})$

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{4})$

Reescribe la expresión.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{4})$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $2 (2 π - \frac{π}{4})$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Simplifica los términos.

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Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4})$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Factoriza $2$ de $4$ .

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - π}{2 (2)}$

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - π}{2 \cdot 2}$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{2}$

Resta $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{2}$

Step 10

Obtén el período de $\cos (\frac{1}{2} x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

Step 11

El período de la función $\cos (\frac{1}{2} x)$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 4 π n, \frac{7 π}{2} + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$