Trigonometría Ejemplos

$\cos (x) - \sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)} = 0$

Step 1

Resta $\cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$- \sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)} = - \cos (x)$

Step 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- \sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Step 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)}$ como ${(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica ${(- {(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Aplica la regla del producto a $- {(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Multiplica ${({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Multiplica los exponentes en ${({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

${(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Reescribe la expresión.

${(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{1} = {(- \cos (x))}^{2}$

Simplifica.

$3 - 3 \cos^{2} (x) = {(- \cos (x))}^{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica ${(- \cos (x))}^{2}$ .

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Aplica la regla del producto a $- \cos (x)$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) = {(- 1)}^{2} \cos^{2} (x)$

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) = 1 \cos^{2} (x)$

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) = \cos^{2} (x)$

Step 4

Resuelve $\cos (x)$

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Mueve todos los términos que contengan $\cos (x)$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Resta $\cos^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$3 - 3 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Resta $\cos^{2} (x)$ de $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$

Divide cada término en $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ por $- 4$ y simplifica.

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Divide cada término en $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $- 4$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Divide $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Simplifica el lado derecho.

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La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Reescribe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Simplifica el denominador.

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Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Step 5

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Step 6

Resuelve $x$ en $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Resta $π$ de $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 7

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Simplifica $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Resta $5 π$ de $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 8

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 9

Consolida las soluciones.

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Consolida $\frac{π}{6} + 2 π n$ y $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ en $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ y $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ en $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 10

Excluye las soluciones que no hagan que $\cos (x) - \sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)} = 0$ sea verdadera.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$