Trigonometría Ejemplos

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Step 1

Reemplaza $4 \cos^{2} (x)$ con $4 (1 - \sin^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Step 2

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Step 3

Resta $5$ de $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) - 1 = 0$

Step 4

Sustituye $u$ por $\sin (x)$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 4 u - 1 = 0$

Step 5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Factoriza $- 1$ de $- 4 u^{2} - 4 u - 1$ .

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Factoriza $- 1$ de $- 4 u^{2}$ .

$- (4 u^{2}) - 4 u - 1 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- 4 u$ .

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 = 0$

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- (4 u^{2}) - (4 u)$ .

$- (4 u^{2} + 4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- (4 u^{2} + 4 u) - 1 (1)$ .

$- (4 u^{2} + 4 u + 1) = 0$

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Reescribe $4 u^{2}$ como ${(2 u)}^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1) = 0$

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1^{2}) = 0$

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

Reescribe el polinomio.

$- ({(2 u)}^{2} + 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = 2 u$ y $b = 1$ .

$- {(2 u + 1)}^{2} = 0$

Step 6

Divide cada término en $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Divide cada término en $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- {(2 u + 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Simplifica el lado izquierdo.

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La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{{(2 u + 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Divide ${(2 u + 1)}^{2}$ por $1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $- 1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = 0$

Step 7

Establece $2 u + 1$ igual a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Step 8

Resuelve $u$

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 u = - 1$

Divide cada término en $2 u = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 u = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{1}{2}$

Step 9

Sustituye $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Step 10

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Step 11

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Step 12

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Step 13

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Step 14

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Step 15

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $2 π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Step 16

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$