Trigonometría Ejemplos

$\tan (75) = \frac{20}{x}$

Step 1

Reescribe la ecuación como $\frac{20}{x} = \tan (75)$ .

$\frac{20}{x} = \tan (75)$

Step 2

El valor exacto de $\tan (75)$ es $2 + \sqrt{3}$ .

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Divide $75$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{20}{x} = \tan (30 + 45)$

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

$\frac{20}{x} = \frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Simplifica $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

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Multiplica el numerador y el denominador de la fracción compleja por $3$ .

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Multiplica $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Combinar.

$\frac{20}{x} = \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{20}{x} = \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{20}{x} = \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Reescribe la expresión.

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Simplifica el denominador.

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Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Cancela el factor común de $3$ .

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Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ al numerador.

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Cancela el factor común.

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Reescribe la expresión.

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$

Multiplica $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Multiplica $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{20}{x} = \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Simplifica.

$\frac{20}{x} = \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Simplifica el numerador.

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Reordena los términos.

$\frac{20}{x} = \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Eleva $3 + \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Eleva $3 + \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{20}{x} = \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Reescribe ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ como $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

$\frac{20}{x} = \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Expande $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{20}{x} = \frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{20}{x} = \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{20}{x} = \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Suma $9$ y $3$ .

$\frac{20}{x} = \frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6}$

Suma $3 \sqrt{3}$ y $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Cancela el factor común de $12 + 6 \sqrt{3}$ y $6$ .

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Factoriza $6$ de $12$ .

$\frac{20}{x} = \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Factoriza $6$ de $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6}$

Factoriza $6$ de $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

$\frac{20}{x} = \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $6$ de $6$ .

$\frac{20}{x} = \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)}$

Cancela el factor común.

$\frac{20}{x} = \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Reescribe la expresión.

$\frac{20}{x} = \frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Divide $2 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{20}{x} = 2 + \sqrt{3}$

Step 3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, 1, 1$

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Step 4

Multiplica cada término en $\frac{20}{x} = 2 + \sqrt{3}$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Multiplica cada término en $\frac{20}{x} = 2 + \sqrt{3}$ por $x$ .

$\frac{20}{x} x = 2 x + \sqrt{3} x$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $x$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{20}{x} x = 2 x + \sqrt{3} x$

Reescribe la expresión.

$20 = 2 x + \sqrt{3} x$

Step 5

Resuelve la ecuación.

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Reescribe la ecuación como $2 x + \sqrt{3} x = 20$ .

$2 x + \sqrt{3} x = 20$

Factoriza $x$ de $2 x + \sqrt{3} x$ .

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Factoriza $x$ de $2 x$ .

$x \cdot 2 + \sqrt{3} x = 20$

Factoriza $x$ de $\sqrt{3} x$ .

$x \cdot 2 + x \sqrt{3} = 20$

Factoriza $x$ de $x \cdot 2 + x \sqrt{3}$ .

$x (2 + \sqrt{3}) = 20$

Divide cada término en $x (2 + \sqrt{3}) = 20$ por $2 + \sqrt{3}$ y simplifica.

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Divide cada término en $x (2 + \sqrt{3}) = 20$ por $2 + \sqrt{3}$ .

$\frac{x (2 + \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}} = \frac{20}{2 + \sqrt{3}}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2 + \sqrt{3}$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{x (2 + \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}} = \frac{20}{2 + \sqrt{3}}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{20}{2 + \sqrt{3}}$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica $\frac{20}{2 + \sqrt{3}}$ por $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ .

$x = \frac{20}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

Multiplica $\frac{20}{2 + \sqrt{3}}$ por $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ .

$x = \frac{20 (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}$

Expande el denominador con el método PEIU.

$x = \frac{20 (2 - \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Simplifica.

$x = \frac{20 (2 - \sqrt{3})}{1}$

Divide $20 (2 - \sqrt{3})$ por $1$ .

$x = 20 (2 - \sqrt{3})$

Aplica la propiedad distributiva.

$x = 20 \cdot 2 + 20 (- \sqrt{3})$

Multiplica.

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Multiplica $20$ por $2$ .

$x = 40 + 20 (- \sqrt{3})$

Multiplica $- 1$ por $20$ .

$x = 40 - 20 \sqrt{3}$

Step 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 40 - 20 \sqrt{3}$

Forma decimal:

$x = 5.35898384 \dots$