Trigonometría Ejemplos

$\log (8 x) - \log (5 + \sqrt{x}) = 2$

Step 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{8 x}{5 + \sqrt{x}}) = 2$

Multiplica $\frac{8 x}{5 + \sqrt{x}}$ por $\frac{5 - \sqrt{x}}{5 - \sqrt{x}}$ .

$\log (\frac{8 x}{5 + \sqrt{x}} \cdot \frac{5 - \sqrt{x}}{5 - \sqrt{x}}) = 2$

Multiplica $\frac{8 x}{5 + \sqrt{x}}$ por $\frac{5 - \sqrt{x}}{5 - \sqrt{x}}$ .

$\log (\frac{8 x (5 - \sqrt{x})}{(5 + \sqrt{x}) (5 - \sqrt{x})}) = 2$

Expande el denominador con el método PEIU.

$\log (\frac{8 x (5 - \sqrt{x})}{25 - 5 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 5 - {\sqrt{x}}^{2}}) = 2$

Simplifica.

$\log (\frac{8 x (5 - \sqrt{x})}{- x + 25}) = 2$

Step 2

Reescribe $\log (\frac{8 x (5 - \sqrt{x})}{- x + 25}) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{2} = \frac{8 x (5 - \sqrt{x})}{- x + 25}$

Step 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$8 x (5 - \sqrt{x}) = 10^{2} (- x + 25)$

Step 4

Simplifica $10^{2} (- x + 25)$ .

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Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$8 x (5 - \sqrt{x}) = 100 (- x + 25)$

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x (5 - \sqrt{x}) = 100 (- x) + 100 \cdot 25$

Multiplica.

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Multiplica $- 1$ por $100$ .

$8 x (5 - \sqrt{x}) = - 100 x + 100 \cdot 25$

Multiplica $100$ por $25$ .

$8 x (5 - \sqrt{x}) = - 100 x + 2500$

Step 5

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Suma $100 x$ a ambos lados de la ecuación.

$8 x (5 - \sqrt{x}) + 100 x = 2500$

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$8 x \cdot 5 + 8 x (- \sqrt{x}) + 100 x = 2500$

Multiplica $5$ por $8$ .

$40 x + 8 x (- \sqrt{x}) + 100 x = 2500$

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$40 x - 8 x \sqrt{x} + 100 x = 2500$

Suma $40 x$ y $100 x$ .

$- 8 x \sqrt{x} + 140 x = 2500$

Step 6

Factoriza $4 x$ de $- 8 x \sqrt{x} + 140 x$ .

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Factoriza $4 x$ de $- 8 x \sqrt{x}$ .

$4 x (- 2 \sqrt{x}) + 140 x = 2500$

Factoriza $4 x$ de $140 x$ .

$4 x (- 2 \sqrt{x}) + 4 x (35) = 2500$

Factoriza $4 x$ de $4 x (- 2 \sqrt{x}) + 4 x (35)$ .

$4 x (- 2 \sqrt{x} + 35) = 2500$

Step 7

Divide cada término en $4 x (- 2 \sqrt{x} + 35) = 2500$ por $4$ y simplifica.

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Divide cada término en $4 x (- 2 \sqrt{x} + 35) = 2500$ por $4$ .

$\frac{4 x (- 2 \sqrt{x} + 35)}{4} = \frac{2500}{4}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $4$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{4 x (- 2 \sqrt{x} + 35)}{4} = \frac{2500}{4}$

Divide $x (- 2 \sqrt{x} + 35)$ por $1$ .

$x (- 2 \sqrt{x} + 35) = \frac{2500}{4}$

Aplica la propiedad distributiva.

$x (- 2 \sqrt{x}) + x \cdot 35 = \frac{2500}{4}$

Reordena.

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Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 2 x \sqrt{x} + x \cdot 35 = \frac{2500}{4}$

Mueve $35$ a la izquierda de $x$ .

$- 2 x \sqrt{x} + 35 x = \frac{2500}{4}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $2500$ por $4$ .

$- 2 x \sqrt{x} + 35 x = 625$

Step 8

Resta $35 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x \sqrt{x} = 625 - 35 x$

Step 9

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- 2 x \sqrt{x})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Step 10

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica ${(- 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 (x^{\frac{1}{2}} x))}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

${(- 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}))}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(- 2 x^{\frac{1}{2} + 1})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${(- 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(- 2 x^{\frac{1 + 2}{2}})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Suma $1$ y $2$ .

${(- 2 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Aplica la regla del producto a $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 2)}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$4 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Reescribe la expresión.

$4 x^{3} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica ${(625 - 35 x)}^{2}$ .

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Reescribe ${(625 - 35 x)}^{2}$ como $(625 - 35 x) (625 - 35 x)$ .

$4 x^{3} = (625 - 35 x) (625 - 35 x)$

Expande $(625 - 35 x) (625 - 35 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{3} = 625 (625 - 35 x) - 35 x (625 - 35 x)$

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{3} = 625 \cdot 625 + 625 (- 35 x) - 35 x (625 - 35 x)$

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{3} = 625 \cdot 625 + 625 (- 35 x) - 35 x \cdot 625 - 35 x (- 35 x)$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $625$ por $625$ .

$4 x^{3} = 390625 + 625 (- 35 x) - 35 x \cdot 625 - 35 x (- 35 x)$

Multiplica $- 35$ por $625$ .

$4 x^{3} = 390625 - 21875 x - 35 x \cdot 625 - 35 x (- 35 x)$

Multiplica $625$ por $- 35$ .

$4 x^{3} = 390625 - 21875 x - 21875 x - 35 x (- 35 x)$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x^{3} = 390625 - 21875 x - 21875 x - 35 \cdot - 35 x \cdot x$

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Mueve $x$ .

$4 x^{3} = 390625 - 21875 x - 21875 x - 35 \cdot - 35 (x \cdot x)$

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 x^{3} = 390625 - 21875 x - 21875 x - 35 \cdot - 35 x^{2}$

Multiplica $- 35$ por $- 35$ .

$4 x^{3} = 390625 - 21875 x - 21875 x + 1225 x^{2}$

Resta $21875 x$ de $- 21875 x$ .

$4 x^{3} = 390625 - 43750 x + 1225 x^{2}$

Step 11

Resuelve $x$

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Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Resta $390625$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} - 390625 = - 43750 x + 1225 x^{2}$

Suma $43750 x$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} - 390625 + 43750 x = 1225 x^{2}$

Resta $1225 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} - 390625 + 43750 x - 1225 x^{2} = 0$

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Reordena los términos.

$4 x^{3} - 1225 x^{2} + 43750 x - 390625 = 0$

Factoriza $4 x^{3} - 1225 x^{2} + 43750 x - 390625$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 390625, \pm 5, \pm 78125, \pm 25, \pm 15625, \pm 125, \pm 3125, \pm 625 q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 390625, \pm 97656.25, \pm 195312.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5, \pm 78125, \pm 19531.25, \pm 39062.5, \pm 25, \pm 6.25, \pm 12.5, \pm 15625, \pm 3906.25, \pm 7812.5, \pm 125, \pm 31.25, \pm 62.5, \pm 3125, \pm 781.25, \pm 1562.5, \pm 625, \pm 156.25, \pm 312.5$

Sustituye $25$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $25$ es una raíz del polinomio.

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Sustituye $25$ en el polinomio.

$4 \cdot 25^{3} - 1225 \cdot 25^{2} + 43750 \cdot 25 - 390625$

Eleva $25$ a la potencia de $3$ .

$4 \cdot 15625 - 1225 \cdot 25^{2} + 43750 \cdot 25 - 390625$

Multiplica $4$ por $15625$ .

$62500 - 1225 \cdot 25^{2} + 43750 \cdot 25 - 390625$

Eleva $25$ a la potencia de $2$ .

$62500 - 1225 \cdot 625 + 43750 \cdot 25 - 390625$

Multiplica $- 1225$ por $625$ .

$62500 - 765625 + 43750 \cdot 25 - 390625$

Resta $765625$ de $62500$ .

$- 703125 + 43750 \cdot 25 - 390625$

Multiplica $43750$ por $25$ .

$- 703125 + 1093750 - 390625$

Suma $- 703125$ y $1093750$ .

$390625 - 390625$

Resta $390625$ de $390625$ .

$0$

Como $25$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 25$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{4 x^{3} - 1225 x^{2} + 43750 x - 390625}{x - 25}$

Divide $4 x^{3} - 1225 x^{2} + 43750 x - 390625$ por $x - 25$ .

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Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$25$

$4 x^{3}$

$1225 x^{2}$

$43750 x$

$390625$

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			+	$4 x^{3}$	-	$100 x^{2}$

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x^{3} - 100 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 1125 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					-	$1125 x^{2}$	+	$28125 x$

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 1125 x^{2} + 28125 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					+	$1125 x^{2}$	-	$28125 x$

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					+	$1125 x^{2}$	-	$28125 x$
							+	$15625 x$

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					+	$1125 x^{2}$	-	$28125 x$
							+	$15625 x$	-	$390625$

Divide el término de mayor orden en el dividendo $15625 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$	+	$15625$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					+	$1125 x^{2}$	-	$28125 x$
							+	$15625 x$	-	$390625$

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$	+	$15625$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					+	$1125 x^{2}$	-	$28125 x$
							+	$15625 x$	-	$390625$
							+	$15625 x$	-	$390625$

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $15625 x - 390625$ .

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$	+	$15625$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					+	$1125 x^{2}$	-	$28125 x$
							+	$15625 x$	-	$390625$
							-	$15625 x$	+	$390625$

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$	+	$15625$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					+	$1125 x^{2}$	-	$28125 x$
							+	$15625 x$	-	$390625$
							-	$15625 x$	+	$390625$
										$0$

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$4 x^{2} - 1125 x + 15625$

Escribe $4 x^{3} - 1225 x^{2} + 43750 x - 390625$ como un conjunto de factores.

$(x - 25) (4 x^{2} - 1125 x + 15625) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 25 = 0$

$4 x^{2} - 1125 x + 15625 = 0$

Establece $x - 25$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Establece $x - 25$ igual a $0$ .

$x - 25 = 0$

Suma $25$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 25$

Establece $4 x^{2} - 1125 x + 15625$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $4 x^{2} - 1125 x + 15625$ igual a $0$ .

$4 x^{2} - 1125 x + 15625 = 0$

Resuelve $4 x^{2} - 1125 x + 15625 = 0$ en $x$ .

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Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Sustituye los valores $a = 4$ , $b = - 1125$ y $c = 15625$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{1125 \pm \sqrt{{(- 1125)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 15625)}}{2 \cdot 4}$

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Eleva $- 1125$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1125 \pm \sqrt{1265625 - 4 \cdot 4 \cdot 15625}}{2 \cdot 4}$

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 15625$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{1125 \pm \sqrt{1265625 - 16 \cdot 15625}}{2 \cdot 4}$

Multiplica $- 16$ por $15625$ .

$x = \frac{1125 \pm \sqrt{1265625 - 250000}}{2 \cdot 4}$

Resta $250000$ de $1265625$ .

$x = \frac{1125 \pm \sqrt{1015625}}{2 \cdot 4}$

Reescribe $1015625$ como $125^{2} \cdot 65$ .

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Factoriza $15625$ de $1015625$ .

$x = \frac{1125 \pm \sqrt{15625 (65)}}{2 \cdot 4}$

Reescribe $15625$ como $125^{2}$ .

$x = \frac{1125 \pm \sqrt{125^{2} \cdot 65}}{2 \cdot 4}$

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{1125 \pm 125 \sqrt{65}}{2 \cdot 4}$

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = \frac{1125 \pm 125 \sqrt{65}}{8}$

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1125 + 125 \sqrt{65}}{8}, \frac{1125 - 125 \sqrt{65}}{8}$

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 25) (4 x^{2} - 1125 x + 15625) = 0$ verdadera.

$x = 25, \frac{1125 + 125 \sqrt{65}}{8}, \frac{1125 - 125 \sqrt{65}}{8}$

Step 12

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (8 x) - \log (5 + \sqrt{x}) = 2$ sea verdadera.

$x = \frac{1125 + 125 \sqrt{65}}{8}$

Step 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{1125 + 125 \sqrt{65}}{8}$

Forma decimal:

$x = 266.59777731 \dots$