Trigonometría Ejemplos

$\log (y^{2} - 1) - 3 \log (x) = - 2 \log (y + 1) + \log (9 x + x y)$

Step 1

Reordena $9 x$ y $x y$ .

$\log (y^{2} - 1) - 3 \log (x) = - 2 \log (y + 1) + \log (x y + 9 x)$

Step 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica $\log (y^{2} - 1) - 3 \log (x)$ .

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Simplifica $- 3 \log (x)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\log (y^{2} - 1) - \log (x^{3}) = - 2 \log (y + 1) + \log (x y + 9 x)$

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{y^{2} - 1}{x^{3}}) = - 2 \log (y + 1) + \log (x y + 9 x)$

Simplifica el numerador.

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Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\log (\frac{y^{2} - 1^{2}}{x^{3}}) = - 2 \log (y + 1) + \log (x y + 9 x)$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$\log (\frac{(y + 1) (y - 1)}{x^{3}}) = - 2 \log (y + 1) + \log (x y + 9 x)$

Step 3

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $- 2 \log (y + 1)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log (\frac{(y + 1) (y - 1)}{x^{3}}) = - \log ({(y + 1)}^{2}) + \log (x y + 9 x)$

Step 4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log (\frac{(y + 1) (y - 1)}{x^{3}}) + \log ({(y + 1)}^{2}) - \log (x y + 9 x) = 0$

Step 5

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (\frac{(y + 1) (y - 1)}{x^{3}} \cdot {(y + 1)}^{2}) - \log (x y + 9 x) = 0$

Step 6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{(y + 1) (y - 1)}{x^{3}} \cdot {(y + 1)}^{2}}{x y + 9 x}) = 0$

Step 7

Combina $\frac{(y + 1) (y - 1)}{x^{3}}$ y ${(y + 1)}^{2}$ .

$\log (\frac{\frac{(y + 1) (y - 1) {(y + 1)}^{2}}{x^{3}}}{x y + 9 x}) = 0$

Step 8

Factoriza $x$ de $x y + 9 x$ .

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Factoriza $x$ de $x y$ .

$\log (\frac{\frac{(y + 1) (y - 1) {(y + 1)}^{2}}{x^{3}}}{x (y) + 9 x}) = 0$

Factoriza $x$ de $9 x$ .

$\log (\frac{\frac{(y + 1) (y - 1) {(y + 1)}^{2}}{x^{3}}}{x (y) + x \cdot 9}) = 0$

Factoriza $x$ de $x (y) + x \cdot 9$ .

$\log (\frac{\frac{(y + 1) (y - 1) {(y + 1)}^{2}}{x^{3}}}{x (y + 9)}) = 0$

Step 9

Multiplica $y + 1$ por ${(y + 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Mueve ${(y + 1)}^{2}$ .

$\log (\frac{\frac{{(y + 1)}^{2} (y + 1) (y - 1)}{x^{3}}}{x (y + 9)}) = 0$

Multiplica ${(y + 1)}^{2}$ por $y + 1$ .

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Eleva $y + 1$ a la potencia de $1$ .

$\log (\frac{\frac{{(y + 1)}^{2} (y + 1) (y - 1)}{x^{3}}}{x (y + 9)}) = 0$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log (\frac{\frac{{(y + 1)}^{2 + 1} (y - 1)}{x^{3}}}{x (y + 9)}) = 0$

Suma $2$ y $1$ .

$\log (\frac{\frac{{(y + 1)}^{3} (y - 1)}{x^{3}}}{x (y + 9)}) = 0$

Step 10

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\log (\frac{{(y + 1)}^{3} (y - 1)}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x (y + 9)}) = 0$

Step 11

Combinar.

$\log (\frac{{(y + 1)}^{3} (y - 1) \cdot 1}{x^{3} (x (y + 9))}) = 0$

Step 12

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Mueve $x$ .

$\log (\frac{{(y + 1)}^{3} (y - 1) \cdot 1}{x \cdot x^{3} (y + 9)}) = 0$

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\log (\frac{{(y + 1)}^{3} (y - 1) \cdot 1}{x \cdot x^{3} (y + 9)}) = 0$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log (\frac{{(y + 1)}^{3} (y - 1) \cdot 1}{x^{1 + 3} (y + 9)}) = 0$

Suma $1$ y $3$ .

$\log (\frac{{(y + 1)}^{3} (y - 1) \cdot 1}{x^{4} (y + 9)}) = 0$

Step 13

Multiplica ${(y + 1)}^{3} (y - 1)$ por $1$ .

$\log (\frac{{(y + 1)}^{3} (y - 1)}{x^{4} (y + 9)}) = 0$

Step 14

Reescribe $\log (\frac{{(y + 1)}^{3} (y - 1)}{x^{4} (y + 9)}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \frac{{(y + 1)}^{3} (y - 1)}{x^{4} (y + 9)}$

Step 15

Resuelve $x$

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Reescribe la ecuación como $\frac{{(y + 1)}^{3} (y - 1)}{x^{4} (y + 9)} = 10^{0}$ .

$\frac{{(y + 1)}^{3} (y - 1)}{x^{4} (y + 9)} = 10^{0}$

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{{(y + 1)}^{3} (y - 1)}{x^{4} (y + 9)} = 1$

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{4} (y + 9), 1$

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{4} (y + 9)$

Multiplica cada término en $\frac{{(y + 1)}^{3} (y - 1)}{x^{4} (y + 9)} = 1$ por $x^{4} (y + 9)$ para eliminar las fracciones.

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Multiplica cada término en $\frac{{(y + 1)}^{3} (y - 1)}{x^{4} (y + 9)} = 1$ por $x^{4} (y + 9)$ .

$\frac{{(y + 1)}^{3} (y - 1)}{x^{4} (y + 9)} (x^{4} (y + 9)) = 1 (x^{4} (y + 9))$

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica los términos.

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Cancela el factor común de $x^{4} (y + 9)$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{{(y + 1)}^{3} (y - 1)}{x^{4} (y + 9)} (x^{4} (y + 9)) = 1 (x^{4} (y + 9))$

Reescribe la expresión.

${(y + 1)}^{3} (y - 1) = 1 (x^{4} (y + 9))$

Aplica la propiedad distributiva.

${(y + 1)}^{3} y + {(y + 1)}^{3} \cdot - 1 = 1 (x^{4} (y + 9))$

Mueve $- 1$ a la izquierda de ${(y + 1)}^{3}$ .

${(y + 1)}^{3} y - 1 \cdot {(y + 1)}^{3} = 1 (x^{4} (y + 9))$

Reescribe $- 1 {(y + 1)}^{3}$ como $- {(y + 1)}^{3}$ .

${(y + 1)}^{3} y - {(y + 1)}^{3} = 1 (x^{4} (y + 9))$

Reordena los factores en ${(y + 1)}^{3} y - {(y + 1)}^{3}$ .

$y {(y + 1)}^{3} - {(y + 1)}^{3} = 1 (x^{4} (y + 9))$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica $x^{4} (y + 9)$ por $1$ .

$y {(y + 1)}^{3} - {(y + 1)}^{3} = x^{4} (y + 9)$

Aplica la propiedad distributiva.

$y {(y + 1)}^{3} - {(y + 1)}^{3} = x^{4} y + x^{4} \cdot 9$

Mueve $9$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$y {(y + 1)}^{3} - {(y + 1)}^{3} = x^{4} y + 9 x^{4}$

Resuelve la ecuación.

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Reescribe la ecuación como $x^{4} y + 9 x^{4} = y {(y + 1)}^{3} - {(y + 1)}^{3}$ .

$x^{4} y + 9 x^{4} = y {(y + 1)}^{3} - {(y + 1)}^{3}$

Simplifica $y {(y + 1)}^{3} - {(y + 1)}^{3}$ .

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Simplifica cada término.

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Usa el teorema del binomio.

$x^{4} y + 9 x^{4} = y (y^{3} + 3 y^{2} \cdot 1 + 3 y \cdot 1^{2} + 1^{3}) - {(y + 1)}^{3}$

Simplifica cada término.

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Multiplica $3$ por $1$ .

$x^{4} y + 9 x^{4} = y (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y \cdot 1^{2} + 1^{3}) - {(y + 1)}^{3}$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x^{4} y + 9 x^{4} = y (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y \cdot 1 + 1^{3}) - {(y + 1)}^{3}$

Multiplica $3$ por $1$ .

$x^{4} y + 9 x^{4} = y (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1^{3}) - {(y + 1)}^{3}$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x^{4} y + 9 x^{4} = y (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1) - {(y + 1)}^{3}$

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} y + 9 x^{4} = y \cdot y^{3} + y (3 y^{2}) + y (3 y) + y \cdot 1 - {(y + 1)}^{3}$

Simplifica.

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Multiplica $y$ por $y^{3}$ sumando los exponentes.

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Multiplica $y$ por $y^{3}$ .

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Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{1} y^{3} + y (3 y^{2}) + y (3 y) + y \cdot 1 - {(y + 1)}^{3}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{1 + 3} + y (3 y^{2}) + y (3 y) + y \cdot 1 - {(y + 1)}^{3}$

Suma $1$ y $3$ .

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + y (3 y^{2}) + y (3 y) + y \cdot 1 - {(y + 1)}^{3}$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + 3 y \cdot y^{2} + y (3 y) + y \cdot 1 - {(y + 1)}^{3}$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + 3 y \cdot y^{2} + 3 y \cdot y + y \cdot 1 - {(y + 1)}^{3}$

Multiplica $y$ por $1$ .

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + 3 y \cdot y^{2} + 3 y \cdot y + y - {(y + 1)}^{3}$

Simplifica cada término.

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Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Mueve $y^{2}$ .

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + 3 (y^{2} y) + 3 y \cdot y + y - {(y + 1)}^{3}$

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + 3 (y^{2} y^{1}) + 3 y \cdot y + y - {(y + 1)}^{3}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + 3 y^{2 + 1} + 3 y \cdot y + y - {(y + 1)}^{3}$

Suma $2$ y $1$ .

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y \cdot y + y - {(y + 1)}^{3}$

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Mueve $y$ .

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + 3 y^{3} + 3 (y \cdot y) + y - {(y + 1)}^{3}$

Multiplica $y$ por $y$ .

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y - {(y + 1)}^{3}$

Usa el teorema del binomio.

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y - (y^{3} + 3 y^{2} \cdot 1 + 3 y \cdot 1^{2} + 1^{3})$

Simplifica cada término.

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Multiplica $3$ por $1$ .

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y - (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y \cdot 1^{2} + 1^{3})$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y - (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y \cdot 1 + 1^{3})$

Multiplica $3$ por $1$ .

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y - (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1^{3})$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y - (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1)$

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y - y^{3} - (3 y^{2}) - (3 y) - 1 \cdot 1$

Simplifica.

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Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y - y^{3} - 3 y^{2} - (3 y) - 1 \cdot 1$

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y - y^{3} - 3 y^{2} - 3 y - 1 \cdot 1$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y - y^{3} - 3 y^{2} - 3 y - 1$

Simplifica mediante la adición de términos.

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Combina los términos opuestos en $y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y - y^{3} - 3 y^{2} - 3 y - 1$ .

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Resta $3 y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + 3 y^{3} + y - y^{3} + 0 - 3 y - 1$

Suma $y^{4} + 3 y^{3} + y - y^{3}$ y $0$ .

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + 3 y^{3} + y - y^{3} - 3 y - 1$

Resta $y^{3}$ de $3 y^{3}$ .

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + 2 y^{3} + y - 3 y - 1$

Resta $3 y$ de $y$ .

$x^{4} y + 9 x^{4} = y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1$

Factoriza $x^{4}$ de $x^{4} y + 9 x^{4}$ .

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Factoriza $x^{4}$ de $x^{4} y$ .

$x^{4} (y) + 9 x^{4} = y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1$

Factoriza $x^{4}$ de $9 x^{4}$ .

$x^{4} (y) + x^{4} \cdot 9 = y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1$

Factoriza $x^{4}$ de $x^{4} (y) + x^{4} \cdot 9$ .

$x^{4} (y + 9) = y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1$

Divide cada término en $x^{4} (y + 9) = y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1$ por $y + 9$ y simplifica.

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Divide cada término en $x^{4} (y + 9) = y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1$ por $y + 9$ .

$\frac{x^{4} (y + 9)}{y + 9} = \frac{y^{4}}{y + 9} + \frac{2 y^{3}}{y + 9} + \frac{- 2 y}{y + 9} + \frac{- 1}{y + 9}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $y + 9$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{x^{4} (y + 9)}{y + 9} = \frac{y^{4}}{y + 9} + \frac{2 y^{3}}{y + 9} + \frac{- 2 y}{y + 9} + \frac{- 1}{y + 9}$

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} = \frac{y^{4}}{y + 9} + \frac{2 y^{3}}{y + 9} + \frac{- 2 y}{y + 9} + \frac{- 1}{y + 9}$

Simplifica el lado derecho.

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Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{4} = \frac{y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1}{y + 9}$

Calcula la raíz cuarta de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1}{y + 9}}$

Simplifica $\pm \sqrt[4]{\frac{y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1}{y + 9}}$ .

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Reescribe $\sqrt[4]{\frac{y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1}{y + 9}}$ como $\frac{\sqrt[4]{y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1}}{\sqrt[4]{y + 9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1}}{\sqrt[4]{y + 9}}$

Multiplica $\frac{\sqrt[4]{y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1}}{\sqrt[4]{y + 9}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{y + 9}}^{3}}{{\sqrt[4]{y + 9}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1}}{\sqrt[4]{y + 9}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{y + 9}}^{3}}{{\sqrt[4]{y + 9}}^{3}}$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{\sqrt[4]{y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1}}{\sqrt[4]{y + 9}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{y + 9}}^{3}}{{\sqrt[4]{y + 9}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1} {\sqrt[4]{y + 9}}^{3}}{\sqrt[4]{y + 9} {\sqrt[4]{y + 9}}^{3}}$

Eleva $\sqrt[4]{y + 9}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1} {\sqrt[4]{y + 9}}^{3}}{{\sqrt[4]{y + 9}}^{1} {\sqrt[4]{y + 9}}^{3}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1} {\sqrt[4]{y + 9}}^{3}}{{\sqrt[4]{y + 9}}^{1 + 3}}$

Suma $1$ y $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1} {\sqrt[4]{y + 9}}^{3}}{{\sqrt[4]{y + 9}}^{4}}$

Reescribe ${\sqrt[4]{y + 9}}^{4}$ como $y + 9$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{y + 9}$ como ${(y + 9)}^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1} {\sqrt[4]{y + 9}}^{3}}{{({(y + 9)}^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1} {\sqrt[4]{y + 9}}^{3}}{{(y + 9)}^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1} {\sqrt[4]{y + 9}}^{3}}{{(y + 9)}^{\frac{4}{4}}}$

Cancela el factor común de $4$ .

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Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1} {\sqrt[4]{y + 9}}^{3}}{{(y + 9)}^{\frac{4}{4}}}$

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1} {\sqrt[4]{y + 9}}^{3}}{{(y + 9)}^{1}}$

Simplifica.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1} {\sqrt[4]{y + 9}}^{3}}{y + 9}$

Reescribe ${\sqrt[4]{y + 9}}^{3}$ como ${({(y + 9)}^{3})}^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1} \sqrt[4]{{(y + 9)}^{3}}}{y + 9}$

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{(y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1) {(y + 9)}^{3}}}{y + 9}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt[4]{(y^{4} + 2 y^{3} - 2 y - 1) {(y + 9)}^{3}}}{y + 9}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.